La Pluralidad de los Mundos

(En esta entrada Moisés Macías Bustos continua la serie sobre Bertrand Russell. Link a la entrega anterior: Un primer acercamiento a Bertrand Russell (3)) (Si no puedes ver bien los símbolos, ajusta tu explorador para que use Unicode).

VI) Filosofía de las Matemáticas: Logicismo

La filosofía de las matemáticas de Russell constituye una temática amplia y técnica que abarca cuestiones tan variadas como los son la naturaleza de las matemáticas, problemas de ontología referentes a los objetos matemáticos y cuestiones de epistemología de las matemáticas. Por razones de espacio, aquí nos limitaremos a un esbozo informal.


El logicismo puede caracterizarse mediante las siguientes tesis ^[1]:

• (i) Toda verdad matemática puede expresarse en un lenguaje cuya totalidad de expresiones son estrictamente lógicas; en otras palabras, toda verdad matemática puede expresarse como una verdad lógica.
• (ii) Toda verdad matemática, una vez expresada como proposición lógica, es deducible de un número pequeño de axiomas y reglas lógicos.

De manera informal, podemos decir que el logicismo es la tesis de que la lógica y las matemáticas son idénticas, al menos en la versión de Russell. En Los Principios de las Matemáticas, Russell ofrece una definición ya clásica de las matemáticas como sigue: las matemáticas son todas aquellas proposiciones de la forma ‘si p entonces q’, donde p y q no contienen constantes, excepto constantes lógicas y las mismas variables aparecen en p y en q. Por lo mismo podemos sostener que Russell caracteriza las proposiciones de las matemáticas como hipotéticas, y especifica que deben estar conformadas por vocabulario estrictamente lógico. Sería quizá interesante diferenciar entre la tesis de los hipotéticos y el logicismo, por cuanto muchas teorías podrían caracterizarse como teniendo proposiciones de la forma ‘p entonces q’. Empero, lo particular de la teoría de Russell es que no sólo deben las proposiciones matemáticas ser de esa forma, sino que también deben poder expresarse en un vocabulario estrictamente lógico y ser capaces de ser deducidas lógicamente en forma válida.

Algo que motiva a Russell a sostener que el logicismo es la concepción correcta de las matemáticas es la plausibilidad de varias reducciones de grandes partes de las matemáticas a cuerpos axiomáticos. Un cuerpo axiomático es un conjunto de enunciados que afirman que los objetos de la teoría en cuestión tienen ciertas propiedades o mantienen entre si ciertas relaciones. Así, por ejemplo, las geometrías pueden caracterizarse completamente mediante sus axiomas. Igualmente es posible reducir grandes partes de la matemática pura tradicional a la teoría de los números naturales ^[2] y estos a los axiomas de Peano. Los axiomas de Peano son los siguientes:

• (i) 0 es un número.
• (ii) El sucesor de todo número es un número.
• (iii) Ningunos dos números tienen el mismo sucesor.
• (iv) 0 no es el sucesor de ningún número.
• (v) Cualquier propiedad que pertenezca al 0 y al sucesor de cualquier número que tenga la propiedad, pertenece a todos los números: ∀P(P(0) & ∀k(P(k) → P(k+1)) →∀n(Pn)). Este es el así llamado principio de inducción matemática.
  
• 
  

Cualquier estructura abstracta que satisfaga esos axiomas puede ser considerada como la serie de los números naturales. El hecho de que tal serie, en toda su complejidad, pueda ser así caracterizada, sugiere que tal vez los axiomas mismos puedan reducirse a expresiones lógicamente más básicas. Hay tres términos primitivos en tal serie: cero, número y sucesor, y el logicista puede mostrar que existe una caracterización de los mismos en un lenguaje puramente lógico, de manera que rescata sus propiedades. Es muy importante señalar, antes de avanzar más, que la lógica, tal como Russell la entendía, no comprendía solamente la lógica de primer orden (que es la cuantificación sobre individuos), sino también lo que él llamaba la teoría de clases y hoy en día conocemos como teoría de conjuntos. Esto amerita algunas palabras. Los términos primitivos se pueden explicar como lo quiere el logicista si empleamos conjuntos y agregamos a la lógica de primer orden el signo ‘∈’ para indicar la relación de pertenencia entre conjuntos y sus elementos. Un conjunto se puede definir de manera extensional, enumerando sus elementos, o de manera intensional, especificándolos mediante una propiedad que todos posean. Dos conjuntos pueden ser iguales o uno puede ser un subconjunto de otro. Un conjunto A es igual a un conjunto B si y sólo si ∀x (x∈A ↔ x∈B) y un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si ∀x (x∈A → x∈B). Después podemos definir “número” mediante el uso del producto cartesiano. El producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un miembro de A y su segundo componente un miembro de B. En símbolos: A × B = {(x, y): x∈A & y∈B}. Teniendo en cuenta al producto cartesiano podemos especificar una relación, llamada función. Una función F es un subconjunto de un producto cartesiano, en símbolos: F ⊆ A×B. Llamamos al conjunto A el dominio de F, y al conjunto B el contra-dominio de F. A cada miembro del dominio corresponde uno y uno sólo del contra-dominio. ^[3] En este caso específico nos interesa tener a la mano la definición de función biyectiva. Una función biyectiva, además de satisfacer las propiedades de toda función, cumple con que su rango ^[4] es igual a su contra-dominio y con que f(x) = f(y) si y sólo si x = y (es decir, dos objetos diferentes no pueden tener dos valores diferentes para sus funciones, y viceversa). Decimos que un conjunto es similar a otro si y sólo si hay una función biyectiva entre ambos. Así, Russell define el número de una clase como la clase de todos los conjuntos similares a un conjunto dado. Esta definición es conocida como la definición Frege-Russell de número cardinal, ^[5] y fue descubierta por ambos de manera independiente. Russell la presentó por primera vez en su The Logic of Relations en 1901. Así, por ejemplo, el 2 quedaría definido como ‘la clase de todos los pares’, el 4 como ‘la clase de todos los cuádruples’, etc. Cualquier par, entonces, satisface la siguiente expresión lógica: ∃x∃y[x≠y & ∀z(Pz → (z=y ∨ z=y))] Se puede observar que en ningún punto en las definiciones se introdujo ningún término numérico y se empleó únicamente el vocabulario de la lógica y la teoría de conjuntos. Igualmente es posible definir ‘cero’ empleando la definición de número y ‘sucesor’ empleando cuantificación y la definición de subconjunto. Parece que efectivamente es posible, en el logicismo de Russell, llevar el análisis más lejos que los axiomas de Peano. Sin embargo, existe un grave problema con la caracterización de conjunto empleada por Russell, esto es, aquella que define un conjunto intensionalmente. Veamos esto con detenimiento. La función proposicional ‘x es un gato’ es verdadera solamente para aquellos argumentos ^[6] de x que tengan la propiedad de ser gatos. Pero ahora, ¿qué hay de la propiedad de no pertenecer a sí mismo? ¿El conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos tiene tal propiedad? Si pertenece a sí mismo entonces, por definición, no pertenece a sí mismo y si no pertenece a sí mismo entonces, por definición, pertenece a sí mismo. Por lo tanto, ese conjunto, el llamado conjunto Russell, pertenece a sí mismo si y sólo si no pertenece a sí mismo. Esta es la paradoja de Russell. Esta paradoja muestra que la teoría ingenua de conjuntos (es decir, aquella que supone que la caracterización intensional irrestricta de conjuntos es válida), es inconsistente. El problema es que si el objetivo era fundamentar las matemáticas en la lógica y la teoría de conjuntos, se volvía indispensable para Russell encontrar una solución a su paradoja. Su solución es la Teoría de los Tipos Lógicos. Ésta tiene como finalidad bloquear paradojas que, de acuerdo a Russell, surgen por la aplicación de lo que él llamó el ‘principio del círculo vicioso’ y que presentó así: “todo aquello que involucre al todo de la colección no debe ser uno más de la colección. Si, admitiendo que cierta colección tiene un total, sus miembros son definibles sólo en términos de tal totalidad, entonces dicha colección no tiene total”. ^[7] Para evitar que se puedan generar expresiones mal formadas por alguna especie de círculo vicioso, Russell introduce la estipulación de que, en el lenguaje formalizado de Principia Mathematica, exista una jerarquía de tipos y órdenes. El objetivo de la jerarquía es restringir la cuantificación de tal manera que afirmaciones sobre el todo de una colección, a menos que sea parte del todo del rango de argumentos significativo de una función proposicional, sea un sinsentido. De acuerdo con Russell un tipo es, entonces, el rango de significatividad de una función proposicional. Dentro de su rango están los argumentos para los cuales la función tiene valores y puede ser verdadera o falsa. Otra asignación de argumentos la haría un sinsentido. De esta manera se puede, en el lenguaje formal de Principia Mathematica, impedir la formación de expresiones que pequen en contra del principio del círculo vicioso. Esto efectivamente permite llevar a cabo la logicización de las matemáticas en Principia Mathematica. El problema es que se cuelan dificultades, dado que no es claro por qué la teoría de los tipos habría de ser considerada como parte de la ‘lógica’, tomando ‘lógica’ en el sentido amplio de Russell. Relacionado con el problema de elementos no lógicos en Principia Mathematica, es importante señalar que este sistema contiene tres axiomas sobre los cuales se puede plantear la duda acerca de su estatus. Estos son: el axioma de infinitud, el axioma de elección y el axioma de reducibilidad. No entraremos aquí en los detalles de los contenidos de cada uno de estos axiomas, pero sí podemos brevemente señalar que el axioma de infinitud postula la existencia de infinitos individuos; el axioma de elección afirma la existencia de un conjunto el cual contiene un elemento de cada conjunto del universo de objetos relevante (o, equivalente, afirma la existencia de una función de elección: ésta función nos permite seleccionar un elemento específico c de cada conjunto C que esté en otra colección de conjuntos V); finalmente, el axioma de reducibilidad tiene como fin poder emplear expresiones de algún tipo lógico para la construcción de una expresión de otro tipo lógico diferente. El problema respecto a su estatus está vinculado al hecho de que estos axiomas no son verdades lógicas, es decir, no pueden ser deducidos del conjunto vacío de premisas, no son tautológicos, ni son consecuencias lógicas de otros axiomas. Eso pone en duda cualquier versión ‘fuerte’ de logicismo que afirme que todos y cada uno de los enunciados matemáticos son reducibles a la lógica o desarrollos de la lógica, en tanto estos enunciados resultan como consecuencias lógicas de axiomas que no poseen el estatus de verdades lógicas. La verdad es que es posible tener una versión más débil de logicismo, esto es, una versión en la que no se insista en que todos los enunciados de las matemáticas son consecuencias estrictas de enunciados lógicos, expresables en vocabulario lógico, etcétera. Existe la idea de que el logicismo fracasó en virtud del teorema de incompletitud de Gödel, cuyo contenido, de manera informal, es que en cualquier teoría consistente lo suficientemente poderosa para generar la teoría de números existirá al menos una proposición verdadera que no será demostrable a partir de los axiomas y teoremas del sistema. Yo pensaría que el teorema de Gödel, un resultado de gran importancia, no sería a su vez posible si no se hubiera establecido primero que efectivamente era posible axiomatizar las matemáticas, como se logra en Principia Mathematica. La razón es que tal teorema es un resultado sobre ese tipo de sistemas axiomáticos. En segundo lugar, los estudiantes de la teoría de conjuntos pueden percatarse de que, si aceptan la teoría de conjuntos como un fundamento para la matemática, probablemente emplearán el sistema de Zermelo-Fraenkel. Así, la mayoría de axiomatizaciones para la teoría de conjuntos contienen el axioma de elección, lo cuál ciertamente no demuestra que sea una verdad lógica, pero si muestra su tremenda utilidad en la derivación de resultados clásicos. Ciertamente nadie esperaría hoy en día que el uso de ciertos axiomas pueda justificarse más allá de su utilidad y fertilidad, que es justamente la vía que el propio Russell tomó a la luz de su realización de que no se pueden dar justificaciones plenamente lógicas para la elección de ciertos axiomas. ^[8] Principia Mathematica no es una lógica de primer orden, ^[9], sino un sistema de orden superior (es decir, que también cuantifica sobre propiedades y relaciones) que incorpora los axiomas requeridos para derivar las matemáticas, algo que logra y es, en ese sentido, además de por su tremenda influencia en la filosofía de las matemáticas y el desarrollo técnico de sus fundamentos, que puede aun hoy en día considerársele exitoso. ^[10]

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(En esta entrada Moisés Macías Bustos continua la serie sobre Bertrand Russell. Links a las entregas anteriores: Un primer acercamiento a Bertrand Russell (1) y Un primer acercamiento a Bertrand Russell (2))

V) La Teoría de las Descripciones

Como era de esperarse, Russell estaba ansioso de desarrollar una teoría de la denotación alternativa a la que había ofrecido en The Principles of Mathematics, dado que su “sentido robusto de la realidad” le hacía sentir que algo estaba profundamente mal en la teoría de la denotación ahí ofrecida.

Para Russell, a diferencia de lo que había pensado en su primer gran libro, era obvio que la noción de existencia podía tener sólo un significado. En su opinión, debíamos hablar de existencia simpliciter y no tenía el menor sentido hablar de diferentes clases de existencia o existencia al interior de una teoría o relato mas no en la realidad, etcétera. De manera que decir que ‘El actual rey de Francia’ existe en la imaginación, o que Hamlet existe realmente sólo que en la pieza de teatro de Shakespeare, ya no tenía para Russell ningún sentido ni podía ser una respuesta aceptable. Es cierto que su uso de la idea de concepto denotativo le permitía explicar la negación de la existencia de objetos imposibles sin comprometernos con éstos, pero también lo era que él estaba forzado a admitir objetos como ‘Apolo’, de los cuales ciertamente no deseaba decir que existían o que tenían ser. Por otro lado, el uso del famoso concepto denotativo para dar cuenta de expresiones cuantificadas parecía ser bastante artificial, un poco como le ocurría a Frege, quien apuntaba al conjunto vacío cada vez que había que caracterizar la referencia de términos vacuos, como ‘Pegaso’.
La nueva solución de Russell pasó a la historia como la Teoría de las Descripciones. Un resultado fundamental de dicha teoría es la demostración de que todas las expresiones de la forma ‘el tal y tal’ (‘el actual rey de Uganda’, ‘la actual directora de la ONU’, etcétera), que ciertamente parecen estar denotando, es decir, apuntando a un objeto del cual se habla, en realidad no son nombres y, por consiguiente, no denotan nada; esto se hace ver al exhibir su genuina forma lógica, la cual resulta ser claramente diferente a la de la oración gramatical en la que aparece como sujeto.
En general, se tiende a asociar con cada nombre un objeto, que es tanto su significado como su referente o denotación. El problema es que entonces en el caso de expresiones como ‘el actual rey de Babilonia’ tenga uno que admitir que nombran algo, por extraño que sea. Las consecuencias de este punto de vista son catastróficas: oraciones como ‘El autor del Quijote es Cervantes’ parecen afirmar una identidad entre dos nombres pero eso, de acuerdo con la nueva teoría, simplemente no es el caso, puesto que ‘el autor del Quijote’ no es un nombre. La verdadera forma lógica de dicha oración no es una algo como a = b, sino algo que en el simbolismo lógico (del cual hablaremos más abajo) queda expresado así:
$ \exists x [Qx \wedge \forall y (Qy \rightarrow) y=x) \wedge Cx] $
Lo que esto significa es lo siguiente: hay algo y sólo algo que es el autor del Quijote y ese algo es Cervantes. Esto basta para mostrar que no se trata de un enunciado de identidad. La oración no está afirmando que dos nombres son intercambiables salva veritate, como si dijéramos ‘Cervantes = Saavedra’. Lo que se está afirmando es que hay una cosa que es autor del Quijote, que no hay más que una y que tal cosa es Cervantes.

En el célebre artículo en donde presenta por primera vez su teoría, esto es, “On Denoting” (1905) (“Sobre el denotar”), Russell señala que la evaluación de cualquier teoría semántica depende de su capacidad para resolver enigmas. Naturalmente, él está convencido de que su teoría resuelve los enigmas clásicos, los cuales tienen que ver básicamente con nombres vacíos (es decir, nombres que no refieren a nada), con predicación sobre lo inexistente y con los así llamados ‘contextos opacos’. Veamos rápidamente en qué consisten dichos enigmas y qué soluciones ofrece la nueva teoría de Russell.

Supongamos que alguien afirma la proposición El actual rey de Francia es calvo. La pregunta es: ¿es esa proposición verdadera o falsa? Si aceptamos la lógica clásica, entonces estamos comprometidos con la tesis de que toda proposición es verdadera o falsa en virtud de que la ley del tercero excluido (p v ¬ p, donde p puede ser cualquier proposición) es una verdad lógica. Pero si ello es así, entonces o bien la proposición ‘El actual rey de Francia es calvo’ es verdadera o bien es falsa. El problema es que no puede ser verdadera, por la sencilla razón de que en la actualidad no hay reyes en Francia. Eso parecería sugerir que entonces es falsa, pero ello sólo sería posible si el actual rey de Francia perteneciera al conjunto de los objetos que son calvos. Pero eso tampoco es el caso. Por lo tanto, la expresión ‘el actual rey de Francia’ no puede ser ni verdadera ni falsa.

La solución del enredo, de acuerdo con la Teoría de las Descripciones, consiste en revelar la forma lógica de la proposición recurriendo a la noción de cuantificación. Se emplea una lógica que introduce signos para cuantificadores como $ \exists x$…(existe un x tal que..., el cuantificador existencial) y $\forall x$… (para toda x..., el cuantificador universal). Tendríamos, así, que en la notación lógica canónica la oración ‘el actual rey de Francia es calvo’ se traduce como:
$ \exists x [Rx \wedge \forall y (Ry \rightarrow) y=x) \wedge Cx] $
Lo que esto significa es: hay algo que es rey de Francia, cualquier otra cosa que sea rey de Francia es ese algo y ese algo es calvo. Tenemos, pues, varias afirmaciones metidas en una. El cuantificador existencial representa una afirmación de existencia, en tanto que el cuantificador universal acota el número de posibles individuos que sean ‘rey de Francia’ a uno. Así, en el lenguaje natural, la proposición original resulta ser la conjunción de tres proposiciones:
i)algo es rey de Francia, y
ii)es sólo un individuo, y
iii)es calvo.
La teoría, por consiguiente, efectivamente resuelve el problema y muestra que la afirmación es falsa, puesto que se afirma que hay algo que es el actual rey de Francia, y eso no es cierto.
En este punto surge una dificultad curiosa e interesante, conectada con la negación. Ya se vio que si la proposición original es falsa, ello puede deberse a que al menos una de las proposiciones implícitas es falsa. Pero entonces se ve que al decir que el rey de Francia no es calvo podemos querer negar dos cosas: 1) que hay algo (alguien) que es el actual rey de Francia. En ese caso, la negación de la proposición original es verdadera (puesto que no hay tal rey), en tanto que la afirmación es falsa (puesto que afirma que hay un rey de Francia en la actualidad). En cambio, si lo que se quiere negar es que ese algo, sea lo que sea, es calvo, entonces tanto la afirmación como la negación son falsas, puesto que en ambos casos se está afirmando que hay algo que es el actual rey de Francia, sólo que en caso se afirma también que dicho rey es calvo y en el otro se niega que lo sea. Pero lo que todo esto muestra es que la Teoría de las Descripciones es perfectamente congruente con la ley del tercero excluido, puesto que explica por qué tomando la negación de cierta manera, si una proposición p es verdadera, entonces su negación es falsa y por qué ello no es así cuando la negación se toma de otra forma.

Consideremos otro de los enigmas mencionados por Russell para avalar su teoría. Supongamos que hay tal proposición como ‘Hércules era griego’. Si Hércules nunca existió: entonces ¿cómo pudo ser griego y, con mayor razón, cómo dicha proposición puede ser no sólo significativa, sino verdadera? En general, ¿cómo puede hablarse de algo que no existe?
No obstante, a cualquier niño se le podría preguntar (en un examen, por ejemplo) si en la mitología es verdad que Hércules era romano. La respuesta tendría que ser que no lo era, puesto que en la mitología Hércules era griego. Sin embargo, eso muestra que es perfectamente significativo hablar de Hércules, aludir a él, inclusive si no existe, si no hay tal persona. La Teoría de las Descripciones resuelve la dificultad haciendo ver que la expresión ‘Hércules’ no es lógicamente un nombre propio y, por lo tanto, no es una expresión de carácter referencial. La idea es que si se nombra un objeto es porque éste existe y que si podemos sin problemas negar la existencia de un objeto es porque no lo estamos nombrando, sino describiendo. Así, ‘Hércules era griego’ no genera problema alguno si la analizamos como una descripción, señalando que consiste en la conjunción de las proposiciones: hay algo que es Hércules, es único y ese algo era griego.

El tercer enigma que Russell menciona es el siguiente: imaginemos que el rector de la UNAM quiere saber si Platón es el autor de La República. O sea, él quiere saber si la proposición ‘Platón es el autor de La República’ es verdadera. Sin embargo, lo que muy probablemente no le interese saber es si la proposición ‘Platón es Platón’ es verdadera. Ahora bien, dos nombres para un mismo objeto deberían ser intersustituibles salva veritate. Esto quiere decir que podemos sustituir ambos nombres en las proposiciones en que aparecen sin cambio en el valor de verdad de esas proposiciones. Así, si ‘Platón fue el discípulo de Sócrates’ es una proposición verdadera y ‘Platón’ y ‘El autor de la República’ son nombres para un mismo objeto, entonces ‘El autor de La República fue el discípulo de Sócrates’ es una proposición verdadera. Sin embargo no podemos decir que el rector de la UNAM quiere saber si ‘Platón es Platón’, aun si quiere saber si ‘Platón es el autor de la República’. El problema es que parecería que eso es precisamente lo que el rector de la UNAM querría saber. Aquí el problema es provocado por lo que Russell llamó actitudes proposicionales, esto es, expresiones como ‘quería saber’, ‘creía’, ‘piensa’, ‘imagina que’, etcétera. Con la Teoría de las Descripciones ‘Platón es el autor de la República’ se analiza así:
$ \exists x [Px \wedge \forall y (Py \rightarrow) y=x) \wedge Rx] $
Si el rector de la UNAM quiere saber si la expresión cuantificada es verdadera, entonces ciertamente se comprende cómo eso difiere una tautología del tipo a = a. Lo que el rector de la UNAM querría saber es si aquella persona que es el autor de La República es la persona llamada Platón. El enredo lógico-semántico, por lo tanto, se disuelve.

Lo que por diversas razones Russell dirá sobre los nombres propios, como ‘Platón’, es que también son descripciones, es decir, descripciones encubiertas y por lo tanto susceptibles de ser analizadas mediante el uso de cuantificadores, como en los casos vistos más arriba. La situación es la siguiente: Russell consideraba que más allá de un análisis formal a las descripciones definidas, la Teoría de las Descripciones tendría que servir también para explicar la semántica de los nombres propios. Es un hecho que nombres como ‘Apolo’, ‘Hamlet’, ‘Cinco’, aparecen en toda clase de contextos lingüísticos, por lo que se vuelve indispensable dar cuenta de cómo operan, puesto que prima facie parecen comprometernos con entidades de alguna clase. La sugerencia de Russell es que las expresiones que gramaticalmente son nombres no lo son lógicamente. O sea, su funcionamiento lógico no es el de los nombres propios en sentido lógico, ya que si lo fuera entonces estaríamos comprometidos con toda clase de entidades, como Apolo, Teseo, Santa Claus, y demás, de las cuales hablamos y predicamos un sinnúmero de cosas. Lo que hay que entender es que si algo es un nombre y denota un objeto, entonces no podemos decir de ese objeto que no existe. Eso sólo lo podemos hacer por medio de descripciones. Dado que el lenguaje natural funciona perfectamente, es claro que lo difícil es explicar el funcionamiento de sus partes, como los nombres propios. La Teoría de las Descripciones evita los problemas que se le plantean a otras teorías, como los conflictos con la bivalencia de la lógica clásica (es decir, la aceptación de que sólo existen dos valores de verdad: Verdadero y Falso), como ya se vio.

En resumen: para Russell hay expresiones que son nombres genuinos, es decir, que todo su significado se reduce a apuntar a un objeto determinado. A estas expresiones él las bautizó como ‘nombres propios en sentido lógico’. Lo importante aquí es entender que los nombres propios en el sentido de Russell no son los nombres propios de los lenguajes naturales.
Russell consideraba, dando inicio así al debate sobre la vaguedad^[1], que el lenguaje natural era vago y ambiguo, por lo que es deseable tener a la mano un instrumental como lo es la lógica matemática para poder ver claramente la estructura profunda o lógica del lenguaje, de manera que se eviten los errores filosóficos usuales por adscribirle a la realidad propiedades de los signos (en esencia Russell sostenía una versión de la teoría lingüística de la vaguedad, es decir, que toda vaguedad está en el lenguaje y no en el mundo).
En esto radica la importancia de la idea de un lenguaje lógicamente perfecto, que es un ideal teórico, si bien totalmente inútil en la vida práctica. Sería útil en la investigación filosófica en tanto en ese lenguaje jamás se correría el riesgo de tener términos vacíos y, por razones ya dadas, no tendría ningún sentido decir de ningún objeto referido por algún término del lenguaje perfecto que existe o que no existe. Estas consideraciones conducen a la pregunta de qué clase de objetos podrían ser los referentes de los nombres propios lógicos. Ya que es indispensable que los nombres propios lógicos tengan referente, que es su significado, y que el usuario del lenguaje sepa esto, los únicos objetos que parecen candidatos plausibles son lo que Russell denominó ‘particulares’, como colores en el campo visual de un sujeto, sonidos, sabores, etc. El sujeto puede, mediante la ostensión, capturar tales objetos, valiéndose por ejemplo de un demostrativo, como ‘esto’.
Así, los referentes de los nombres propios en sentido lógico resultan ser entidades efímeras. La ventaja de esto, sin embargo, es que el sujeto tiene plena certeza de la existencia última de los objetos en cuestión, cosa que nunca puede ser así para objetos más complejos como los planetas o las personas.

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(En esta entrada Moisés Macías Bustos continua la serie sobre Bertrand Russell. Aquí el link a la primera entrega: Un primer acercamiento a Bertrand Russell (1).)

IV) Proposiciones Russellianas

El rechazo del idealismo hizo posible generar una filosofía de corte realista, esto es, como ya se dijo, una filosofía que asume la existencia de un mundo que, aparte de plural, es independiente por completo de que lo conozcamos o no. Este punto de vista está implícito en su importante libro, The Principles of Mathematics (1903). En él, Russell establece por primera vez de manera sistemática la reducción de las matemáticas a la lógica, sólo que para poder efectuar dicha reducción requería de una teoría de la proposición. En efecto, el filósofo de las matemáticas tenía que ofrecer en primer lugar una caracterización de lo que son las proposiciones matemáticas y para ello era indispensable una teoría general de la proposición.

El rechazo de Russell de cualquier cosa que pudiera siquiera asemejarse al idealismo subjetivista lo llevó a desarrollar una teoría de la proposición que permitiera dar cuenta del contacto directo que el sentido común indica que se da entre los objetos del mundo y el sujeto cognoscente. De ahí que las proposiciones russellianas no sean, como en otros casos, intermediarios entre sujeto y realidad. La proposición russelliana no es una tercera entidad, es decir, una entidad que representa algún sector de la realidad. Al contrario, la proposición russelliana, que es lo que se piensa, está conformada por aquellos objetos que son mencionados en la misma. Así la proposición:

versa no sobre el concepto “Everest”, sino sobre la montaña misma Everest. El Everest es, pues, un componente de la proposición. Las proposiciones russellianas tienen como componentes lo que Russell denominó ‘términos’ y ‘conceptos’ (su uso de esta terminología es sui generis). Los nombres que aparecen en las oraciones corresponden a los términos en la proposición, en tanto que los adjetivos y verbos de las oraciones corresponden a los conceptos. El término es aquello de lo que se dice o predica algo, mientras que el concepto es aquello que se predica del término, o de los términos, según el caso. Así, en la teoría de The Principles of Mathematics, todo aquello de lo que se hable es un término y, si no tiene existencia, por lo menos tiene ser:

Ser es aquello que pertenece a todo término concebible, a todo posible objeto de pensamiento – en breve, a todo lo que posiblemente pueda ocurrir en una proposición, verdadero o falso, y a las mismas proposiciones también. El ser pertenece a todo lo que puede ser contado como uno, es claro que A es algo y, por lo tanto, que A es. ‘A no es’ debe ser siempre falso o asignificativo. Pues si A no fuera nada, no podría decirse que no es: ‘A no es’ implica que hay un término A cuyo ser es negado y, por ende, que A es. Así, a menos que ‘A no es’ sea un sonido vacío, debe ser falso – sea lo que sea A, ciertamente es. Números, los dioses homéricos, relaciones, quimeras y espacios tetra-dimensionales, todos tienen ser, pues si no fueran entidades de ningún tipo no podríamos generar proposiciones sobre las mismas. Así, el ser es un atributo general de todo, y mencionar algo es mostrar que es. ^[1]

No estará de más notar que el pasaje recién citado contiene un argumento cuya finalidad es hacer explícito un compromiso ontológico con todo término, sea el que sea (es decir, básicamente, una necesidad teórica de postular la entidad). Por ello, se ha calificado dicho argumento de Russell como un “argumento meinongiano”. Lo que esto significa es que se ha visto en Russell a alguien que admite no sólo objetos irreales sino hasta objetos cuya existencia es imposible (objetos imposibles). No obstante, esto es debatible. El dispositivo que Russell emplea en The Principles of Mathematics para no admitir objetos imposibles (u objetos como la montaña dorada) es el de concepto denotativo.
Un concepto denotativo es una expresión cuya finalidad es denotar algo. Sin embargo, es claro que un concepto denotativo puede no denotar nada. Russell se siente forzado a introducir la idea de concepto denotativo, a pesar de su renuencia a aceptar algo que medie entre sujeto y mundo, para evitar el problema de los objetos imposibles y que pueda después objetarse que un sujeto debe poder estar relacionado directamente con entidades infinitas, como cuando se habla de ‘todos los números naturales’. Así, pues, un concepto denotativo permite dar cuenta de expresiones en las que se emplean palabras lógicas, como algún, todos y ‘el tal y tal’, y eso a su vez permite explicar cómo una expresión como ‘el cuadrado redondo no es’ puede ser significativa y verdadera.
Independientemente de lo laudable del esfuerzo, es claro que Russell no logra eludir todas las dificultades que su teoría plantea. Por ejemplo, resulta de todos modos imposible no aceptar objetos prima facie irreales, como Hamlet, y por otro lado el sentido de una proposición, que es una unidad completa en sí misma, se pierde al considerar sus partes. Esto tiene la desagradable consecuencia de que entonces tanto las proposiciones verdaderas como las falsas tienen ser y la verdad y la falsedad serían propiedades de ellas mismas y no algo que brote de su vinculación con la realidad.

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A continuación voy a comenzar una serie de posts que tiene el objetivo de familiarizar al lector con la filosofía de Bertrand Russell. Mi objetivo es eventualmente profundizar en su pensamiento, más allá de generar una serie de entradas introductorias, sin embargo tenemos que comenzar por algo.

I) Aspectos generales. Vida e Ideología

Bertrand Arthur William Russell nació el 18 de mayo de 1872, en Ravenscroft, Monmouthshire en el Reino Unido y falleció el 2 de febrero de 1970. Su extensa vida transcurrió durante un periodo de intensas transformaciones socio-políticas, culturales, científicas y tecnológicas. La faceta personal de la vida de Russell fue casi tan compleja como la intelectual. Russell estuvo casado cuatro veces. Sus esposas fueron Alys Pearsall Smith, Dora Black, Patricia Spence y Edith Finch. Tuvo tres hijos John y Kate con Dora Black y Conrad, con Peter Spence. Pasó tiempo considerable en diversos países, en particular en los Estados Unidos y en China. Russell perteneció siempre a la élite intelectual inglesa y entró en contacto con muchos políticos, escritores, científicos y filósofos importantes. A guisa de ejemplo, mencionemos tan sólo a A. N. Whitehead, J. M. Keynes, G. E. Moore, V. I. Lenin, T. S. Elliot, D. H. Lawrence, Joseph Conrad, Albert Einstein, Wolfgang Pauli y, desde luego, Ludwig Wittgenstein. Russell vivió activamente los grandes procesos sociales del siglo XX: la Guerra de los Boers, las dos guerras mundiales y todas las luchas de emancipación y en favor de los derechos civiles y humanos; desempeñó un papel político importante en varios momentos de su vida. Su oposición pacifista durante la Primera Guerra Mundial lo llevó a pasar un año en prisión, período durante el cual escribió su muy útil libro Una Introducción a la Filosofía Matemática. Por defender puntos de vista liberales y de vanguardia en relación con el matrimonio y la sexualidad fue excluido de la cátedra de filosofía que le había sido conferida por la universidad de Nueva York. Fue a prisión un par de semanas nuevamente en los años sesenta por su oposición a la proliferación de armas nucleares y a la guerra norteamericana en Vietnam. Tuvo una participación pública destacada durante la crisis de los misiles en Cuba, en 1962.

La felicidad y la justicia humanas fueron siempre temas importantes en el pensamiento y el sentir de Russell. Dedicó grandes esfuerzos a defender causas valiosas y a impulsar reformas socio-políticas y educativas mediante el argumento, la ironía y el sarcasmo, tanto en libros y artículos como en discursos, entrevistas, mítines, etc. No era un pacifista a ultranza, sino más bien alguien que consideraba que había tanto guerras injustas como justas. En general fue siempre un liberal al estilo de su padrino, John Stuart Mill, aunque sentía también una gran simpatía por posiciones socialistas y anarquistas. En el terreno del pensamiento político, su aportación más importante probablemente sea su magnífico libro Principles of Social Reconstruction, en el cual combina una doctrina de la acción humana con una teoría de las instituciones, siendo uno de sus objetivos mostrar que la vida humana puede ser encauzada a través de impulsos y deseos creativos antes que por los posesivos y destructivos. Su teoría incorpora también importantes puntos de vista sobre la educación y la religión.

II) Motivaciones Filosóficas de Russell

El estudio cuidadoso de la filosofía de Russell permite detectar ciertos rasgos a la vez recurrentes y distintivos. Uno de ellos, el más predominante quizá, es su intento de justificación del conocimiento humano. Russell estaba interesado en determinar no tanto cuánto conocemos, sino más bien qué conocemos y cómo conocemos. O sea, lo que él buscaba era dar razones para pensar que efectivamente el mundo es cognoscible sobre la base de la experiencia y los datos de la conciencia. Un tema crucial para él era la vinculación entre el conocimiento abstracto de la realidad proporcionado por la ciencia y la experiencia sensorial, de la cual supuestamente partimos. Este tema se plantea en sus escritos una y otra vez, a lo largo de cinco décadas. A este respecto, el propio Russell nos da la clave para entender sus motivaciones filosóficas en la introducción de su autobiografía intelectual:

La evolución de mi pensamiento filosófico puede dividirse en varias fases, según los problemas que me han preocupado y según los hombres cuya obra ha ejercido alguna influencia sobre mí. Sólo una preocupación constante ha habido en ella: desde el principio al fin, siempre estuve ansioso por descubrir cuánto puede decirse que conocemos, y con qué grado de certeza o de duda.^[1]

Como él mismo lo reconoce ^[2], su plan filosófico original no tuvo el éxito que había imaginado cuando inicio su gran vuelo filosófico. El trayecto filosófico de Russell, como el de muchos otros grandes filósofos, es una especie de viaje intelectual que lo llevó desde los fundamentos de las matemáticas y la epistemología hasta la filosofía del lenguaje y la metafísica. Human Knowledge (1948), esto es, su último gran libro de filosofía, es un intento por explicar qué se tiene que suponer para poder explicar el conocimiento científico.

III) Rechazo del Idealismo

En la época en que Russell estudió en Cambridge, esto es, finales del siglo XIX, la filosofía predominante en Inglaterra era el Idealismo Absoluto. Entre los representantes más importantes de esta corriente encontramos a T. H. Green, J. McTaggart y F. H. Bradley. En la visión idealista de la verdad se le daba primacía a la coherencia sobre la correspondencia. La inteligibilidad y la racionalidad del mundo constituían, para los idealistas, el punto de partida a toda explicación filosófica. Los idealistas gustaban de negar la realidad de toda clase de cosas consideradas aisladamente: del tiempo, de las relaciones, de la multiplicidad, de la verdad y la falsedad como correspondientes con hechos y como absolutas, etc. Es contra esta concepción del mundo que Russell, siguiendo a Moore, se rebelaría en primer término. Para Russell, los idealistas eran ante todo ‘subjetivistas’, lo cual para él significaba entre otras cosas la idea de que no se puede tener un contacto no mediado con el mundo, i.e., que no se puede conocer el mundo tal como éste realmente es, sino sólo que podemos representárnoslo, para lo cual es indispensable el aparato cognitivo humano. Frente al idealismo absoluto, Russell adoptó en primer lugar una posición empirista y atomista.
Fueron varios los elementos que le permitieron a Russell vislumbrar una salida a los enredos del idealismo neo-hegeliano. En primer lugar, habría que mencionar su estudio de los trabajos de los grandes matemáticos de su época, es decir, de gente como Georg Cantor, Richard Dedekind y Karl Weierstrass. Los avances de matemáticos y de lógicos hacían ver que empleando exclusivamente herramientas matemáticas era factible resolver toda una serie de problemas, conocidas como antinomias en los fundamentos de las matemáticas. Otro elemento decisivo en su cruzada anti-idealista fue su rechazo de lo que él denominó el ‘axioma de las relaciones internas’. Este principio es filosóficamente fundamental y básicamente sostiene que las relaciones de los objetos son esenciales a ellos, es decir, que las cosas no serían lo que son si no tuvieran o mantuvieran exactamente las mismas relaciones que de hecho mantienen con otros objetos. Este axioma era central al idealismo y es de consecuencias lógicas cruciales, pues de uno u otro modo implica el monismo metafísico, i.e., la tesis de que no hay más que una única sustancia, a saber, el mundo como un todo. Russell rechaza dicho “axioma” mostrando que las así llamadas ‘relaciones asimétricas’, son irreducibles a propiedades de sus relata. Esta línea de argumentación le permite a Russell asumir un punto de vista no monista, esto es, un pluralismo, el cual incorpora la tesis de que el mundo está poblado por una multiplicidad de sustancias independientes y auto-subsistentes. Hay que señalar, asimismo, que su enfoque filosófico se modificó drásticamente después de su asistencia al congreso de filosofía de París en 1900. Al observar que la nueva lógica simbólica de Peano constituía una oportunidad de extender el análisis de los fundamentos de las matemáticas a otras ramas de la filosofía, Russell se convirtió en un partidario del análisis como método filosófico. Su pluralismo y su fidelidad al análisis caracterizarían su enfoque y su método filosófico hasta el fin de sus días.

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Según un lugar común, detrás de los lugares comunes se asoma conocimiento muy importante. Esto lo podemos explicar notando varios hechos: difundir el conocimiento de un cierto campo de investigación es, en parte, lograr que el público no especialista pueda comprender lo que en esa área se sabe y se discute. Para lograr que ese público pueda comprender las teorías y los debates con que sesudos investigadores de todo el mundo se enfrentan cada día, es necesario poder explicar esas teorías y debates en términos que no presupongan todo el conocimiento teórico, histórico, matemático, y circundante en general que esas teorías y debates presuponen.
Entre las ventajas de llevar el conocimiento fuera de las universidades, está el que una sociedad informada es una sociedad que tiende a decidir mejor; además de que una sociedad cuyos ciudadanos tienen una formación intelectual sana es una sociedad que tiende a producir y aplicar más conocimiento. La desventaja es que una teoría cuyo armazón “sólo apto para especialistas” le ha sido reducido al mínimo, es una teoría que corre el riesgo de ser mal entendida.

Tengo un ejemplo, que invita a la risa, relacionado con la teoría de la relatividad. Recuerdo haber escuchado a alguien decir que el gran Einstein había logrado algo inaudito: demostrar que todo es relativo. Esto, por supuesto, tiene algo de verdad, pero no en el sentido en que esa persona después quizo explicarme: en el sentido en que la simple ecuación “7+5=12” es “relativa a quien la juzgue” (¡lo cual implicaría que alguien en Zimbabwe podría obtener 15 al computar 7+5!).
Pensemos de nuevo en los lugares comunes: una hipótesis que podemos proponer es que, detrás de muchos de ellos, hay conocimiento que ha ido decantándose desde las altas esferas científicas e intelectuales hasta el vox populi. Como hemos visto, este tipo de decantación corre el riesgo de transformar ese conocimiento hasta hacerlo irreconocible para alguien con mayor formación científica e intelectual.
Así pues, los interesados en la difusión del conocimiento han de tener cuidado en lograr una representación simple, pero fidedigna, del conocimiento que intentan hacer más accesible. Y esta advertencia nos viene justa en la presentación de este sitio.
Cada día se hace más claro que nuestra cultura necesita la difusión del conocimiento filosófico. Este conocimiento invita a la reflexión y a la crítica razonada, además de tener la laudable consecuencia de evitar el estancamiento en la comodidad de los lugares comunes. Además, las personas que se entrenan en filosofía tienen un panorama más amplio de los problemas con los que se enfrentarán cada día: basta pensar que dos ramas fundamentales de la filosofía, la ética y la lógica, tienen infinitas aplicaciones para casi cualquier dilema cotidiano. A nadie le escandalizará leer, ahora, que justamente la búsqueda del bien y de la racionalidad es algo que la actualidad pide a gritos.
La Pluralidad de los Mundos (nombre inspirado por el libro del filósofo estadounidense David K. Lewis, On the Plurality of Worlds) es, justamente, un espacio que se propone hacer una modesta colaboración al proyecto de difundir el conocimiento filosófico en la cultura iberoamericana –y, quizá, hasta mundial.
Bertrand Russell (filósofo y lógico inglés de inicios del siglo XX) decía que la filosofía consistía en esto: empezar con algo tan común y trivial que nadie creyera digno de dudar, para terminar con algo tan paradójico que nadie creyera digno de creer. Aunque sólo el tiempo dirá cómo terminaremos, este sitio web comienza –tristemente– con algo tan extraño que muchos creemos que es digno de cambiar: la poca cultura filosófica que existe en los medios.
Bienvenidos.

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