Hola,
Te escribo esto para responder una pregunta que tú, como algunos otros que estudian lógica, se hacen, pero que pocos expresan de manera abierta. Podríamos formular esa pregunta del siguiente modo: ¿Por qué las tablas de verdad son como son y no de manera diferente? Esta pregunta resume, creo, otras como ¿Por qué una proposición y su negación no pueden ser ambas verdaderas (o ambas falsas)? ¿Por qué hay sólo dos valores de verdad? ¿Por qué todas las proposiciones han de tener algún valor de verdad?


Una opinión muy extendida incluso entre los lógicos es que al conocer más la parte matemática de la lógica el alumno es menos capaz de aplicar la lógica de manera crítica en la argumentación. Aquí trato de mostrarte que si conoces un poco más de matemática podrás acercarte de manera crítica incluso a la lógica misma; que la lógica es ella misma un objeto de escrutinio filosófico y que, al tener claras algunas nociones matemáticas, es más fácil saber cuáles son algunos de nuestros compromisos filosóficos y qué tendríamos qué hacer para cuestionarlos, rechazarlos o darles mayor soporte. Mi tesis principal es que, si conoces las tablas de verdad de la lógica clásica y su fundamento matemático en la noción de función, en diez minutos sabrás por qué las tablas de verdad son como te las enseñaron y serás capaz de adentrarte de manera sencilla al fascinante campo de las lógicas no clásicas y su filosofía.
Por favor ten en cuenta la siguiente aclaración. No estoy interesado en la didáctica de la lógica ni en la divulgación de la filosofía. Siendo una persona de cualidades intelectuales limitadas, requiero mucho esfuerzo, trabajo y concentración para aprender las cosas. Tratar de convertir lo que he aprendido en algo que pudiera ser ya no aprendido por muchas más personas, sino al menos atractivo para ellas, resultaría una tarea descomunal para mí. Escapa a mis fuerzas tratar de lograr que la lógica le guste o se le facilite a más gente de la que ya de hecho disfruta aprendiéndola. Estas son razones de índole personal, puras incapacidades mías. Hay otras que no tienen que ver con mis limitaciones sino con el proyecto mismo de la didáctica de la lógica, pero no es el momento de discutirlas. Si hago esto es por pura conveniencia: entre más pronto puedas familiarizarte con ciertas nociones y temas, mejor para mí. Siempre me resulta muy agradable alguien con quien pueda platicar sin tener que explicarle una gran cantidad de cosas que ya debería saber.
Te pido de momento que dejemos como indefinidas las nociones de objeto, conjunto y relación, ¿te parece? Basta por ahora que tengas sólo ideas intuitivas de qué es una relación y un conjunto (colección de cosas). Una función f es entonces una relación entre dos objetos cualesquiera (usualmente conjuntos) X y Y, el dominio y el codominio respectivamente, tal que
(f1) a todo elemento del dominio le corresponde un elemento del codominio,
pero
(f2) sólo uno.
Una función con dominio X y codominio Y se denota usualmente así: f: X→Y. Necesito que sepas otras dos cosas. Primero, que uso ‘X×Y’ para referirme a un conjunto que consta de todos los pares <x, y> tales que x es un elemento de X y y es un elemento de Y. Segundo, que uso el signo ‘YX’ para referirme a la colección de funciones que hay de X a Y. Esta notación exponencial es muy útil en muchos casos. Puedes calcular cuántas funciones hay del conjunto X al conjunto Y si sabes cuántos elementos tiene cada dominio. Por ejemplo, supongamos que X tiene cuatro elementos y que Y tiene tres. Hagamos un poco de trampa para calcular el número de funciones de X a Y, tratando a estos conjuntos como si fueran números. Entonces habría YX = 34 = 81 funciones de X a Y.
Con esto en mente vamos a considerar algunos casos límite de funciones. ¿Qué pasa si el dominio es vacío; qué si el codominio es vacío? Sea X como antes, un conjunto con cuatro elementos pero Y ahora vacío, sin elementos. ¿Cuántas funciones hay de X a Y? YX = 04 = 0. Nota que esto se sigue de la definición misma de función: Si a todo elemento del dominio (X) ha de corresponderle un elemento del codominio (Y), es claro que no habrá funciones de X a Y cuando Y es vacío, porque no hay elementos que asignar a los elementos de X. ¿Y qué pasa cuando Y es como en el párrafo anterior, es decir, tiene tres elementos, pero ahora X es vacío? Lo resolverás muy fácil usando la notación exponencial, sólo trata de asegurarte de que entiendas que ese resultado también se sigue de la definición de función dada más arriba.
Ahora vamos a dar una definición de la lógica clásica de orden cero (o proposicional), LC0 . Lo haremos un poco rápido porque esto ya lo sabes; sólo quiero que relaciones lo que ya sabes con mi notación y terminología. La llamamos “de orden cero” porque no tiene cuantificadores y nada se cuantifica. Empezamos definiendo un lenguaje L0, construido a partir de
(1) un vocabulario que consta de
- variables proposicionales: p,q, r, s…
- conectivas: ¬ (negación), ∧ (conjunción), ∨ (disyunción), → (condicional) y ↔ (bicondicional)
- símbolos auxiliares: los paréntesis, (, ).
(2) las siguientes reglas de formación:
(2.1) Las variables proposicionales son fórmulas,
(2.2) Si A y B son fórmulas, entonces ¬A, ¬B, A∧B, A∨B, A→B y A↔B también son fórmulas;
(2.3) Las únicas fórmulas son las construidas usando las anteriores reglas.
Con P0 denotaremos al conjunto de fórmulas así definido. Identificaremos al lenguaje con el conjunto de fórmulas, es decir, L0 = P0.
Parece que por sí solas las fórmulas no nos dicen mucho. Necesitamos darles una interpretación y esto lo haremos por medio de una asignación o función de interpretación. Una interpretación muy útil es la que nos permite tratar a las fórmulas como valores de verdad, pues los valores de verdad nos ayudan a determinar la validez de un argumento, lo cual a ti te interesa mucho.
Así, el dominio de la interpretación son las fórmulas, pues es lo que queremos interpretar, y el dominio es la colección de valores de verdad, denotada por ‘2’ (esta notación nos recuerda que estamos con trabajando con dos valores de verdad, V y F, verdadero y falso, respectivamente). Una función de interpretación es una función que va de la colección de fórmulas a los valores de verdad, esto es, usando nuestra notación,
σ: P0→2
Supón que tienes un fragmento P del lenguaje P0 que consta de una sola fórmula, P = {p}. Ya sabes que en lógica clásica una fórmula tiene (sólo) dos posibles valores de verdad, V y F. Esto quiere decir que para cada fórmula p tienes dos posibles interpretaciones σ1: P→2 y σ2: P→2, a saber:
σ1(p) = V σ2(p) = F
Supón ahora que ese fragmento de P0 sólo consta de tres fórmulas, es decir, P = {p, q, r}. Entonces una posible función de interpretación para esas tres fórmulas sería la siguiente:
σ1: P→2
σ1(p) = V σ1(q) = V σ1(r) = V
Bajo esa interpretación, las tres fórmulas serían verdaderas. Otra posible interpretación sería la siguiente:
σ2: P→2
σ2(p) = F σ2(q) = F σ2(r) = F
Esta es una interpretación en la que las tres fórmulas son falsas. ¿Cuántas posibles interpretaciones hay para esas tres fórmulas? Recuerda a YX. Lo que quieres saber es cuántas interpretaciones hay de P a 2, esto es, 2P, que podíamos escribir 23, y de seguro ya sabes cuántas hay, ¿no? Entonces el número de funciones de interpretación que tengas de un fragmento del lenguaje L0 depende tanto de los valores de verdad como del número de fórmulas que tenga ese fragmento del lenguaje. ‘2n’ denota pues la colección de funciones de interpretación que van de la colección de fórmulas que tengas al conjunto de valores de verdad. ‘n’ sirve para recordar el número de fórmulas que tienes, así que la notación también te ayuda a contar esas posibles interpretaciones. Tienes 2n posibles interpretaciones. Ya vimos dos posibles interpretaciones para el conjunto {p. q, r} de fórmulas; te serviría mucho si das las interpretaciones que faltan. Ya sabes hacerlo: nota que esto es lo que haces cuando proporcionas el lado derecho de una tabla de verdad: cada renglón es una interpretación posible y los 2n renglones te dan todas las interpretaciones (renglones) posibles.
Las conectivas que ya conoces suelen denominarse veritativo-funcionales; también se les llama funciones de verdad. Esto quiere decir que a las conectivas de nuestro lenguaje las interpretamos como funciones cuyo dominio son valores de verdad (si la conectiva es unaria) o pares de valores de verdad (si la conectiva es binaria) y cuyo resultado (o cuyo codominio) son los valores de verdad. Nota que vamos a abusar un poco del lenguaje. Dijimos que las conectivas eran partes del vocabulario que nos permitían formar nuevas fórmulas, pero ahora vamos a usar los mismos signos para representar a esas partes del lenguaje interpretadas como funciones de verdad. Esto no es (tan) problemático (¡pero no olvides el truco que hemos hecho!); las funciones de interpretación nos permiten tratar a las fórmulas como valores de verdad y no sólo como meras fórmulas y haremos algo similar con las conectivas. Nota también que, siendo funciones, las conectivas aparecerán en expresiones de la forma f(x) = y, donde f será una conectiva, y un valor de verdad y x un valor de verdad (si la conectiva es unaria) o un par de valores de verdad (si la conectiva es binaria).
La negación es la función ¬: 22 definida del siguiente modo:
¬(V) = F
¬(F) = V
Esto suele expresarse de manera resumida diciendo que, en la lógica clásica, la negación cambia el valor de verdad.
La conjunción es la función ∧: 2×22 definida del siguiente modo:
∧(V, V) = V
∧(V, F) = F
∧(F, V) = F
∧(F, F) = F
Recuerda que X×Y es un conjunto que consta de todos los pares (x, y) tales que x es un elemento de X y y es un elemento de Y. 2×2 indica pues que tomas pares de valores de verdad y a ese par le asignas un valor de verdad. En este caso, tienes un par de valores de verdad porque a cada miembro de la conjunción le corresponde un valor y dependiendo de cuáles sean sus valores será el valor de verdad que se le asigne a la fórmula A∧B. La función conjunción suele expresarse de manera resumida diciendo que la conjunción es verdadera si y sólo si sus dos conyuntos son verdaderos. Otra manera de decirlo en lógica clásica es que una conjunción es falsa si y sólo si al menos uno de los conyuntos es falso.
La disyunción es la función ∨: 2×22 definida del siguiente modo:
∨(V, V) = V
∨(V, F) = V
∨(F, V) = V
∨(F, F) = F
También tienes un par de valores de verdad, que corresponden a los valores de los disyuntos, y a ese par le vas a asignar uno y sólo un valor de verdad que será el valor de la fórmula A∨B. La función disyunción suele expresarse de manera resumida diciendo que una disyunción es verdadera si y sólo si al menos uno de los disyuntos es verdadero. Otra manera de decirlo en la lógica clásica es que una disyunción es falsa si y sólo sus dos disyuntos son falsos.
La implicación es la función →: 2×22 definida del siguiente modo:
→(V, V) = V
→(V, F) = F
→(F, V) = V
→(F, F) = V
También tienes un par de valores de verdad, que corresponden a los valores del antecedente y del consecuente, respectivamente, y a ese par le vas a asignar uno y sólo un valor de verdad que será el valor de la fórmula A→B.
Nota que las funciones de verdad así definidas coinciden con las tablas de verdad que ya conocías. Ya estabas trabajando con funciones entre valores de verdad y ahora conoces parte del fundamento matemático para lo que estabas haciendo. Te queda de tarea definir la función ↔. Hazlo como lo hemos hecho arriba para el resto de las funciones de verdad.
Podemos definir ahora a la lógica clásica como un subconjunto LC0 de las fórmulas de L0, a saber, aquellas fórmulas que son verdaderas en cualquier interpretación. Nota que LC0 es un subconjunto propio de L0, pues hay elementos de L0 que no están en LC0. Los elementos de LC0 suelen ser llamados “teoremas (de la lógica clásica)” o incluso “verdades lógicas (según la lógica clásica, claro)”. Siguiendo este ejemplo, muchas lógicas pueden definirse como subconjuntos propios de un lenguaje dado L, a saber, el subconjunto NCL de fórmulas de L que son verdaderas en cualquier interpretación para ese lenguaje.
Ahora que ya estoy seguro de que sabes lo que me interesaba que supieras, vamos a hablar un poco de filosofía de la lógica analizando a qué nos comprometen estas tablas de verdad que ya bien conoces. Pero antes, por favor ten en cuenta las siguientes advertencias. No te doy nombres ni referencias porque sé que llevas prisa. Quiero aprovechar estos minutos para que sepas qué se ha dicho; estoy seguro de que después podrás averiguar quién lo ha dicho. Puedes escribirme a loisayaxsegrob@gmail.com si necesitas que te dé referencias específicas. También puedes escribirme si deseas compartir alguna referencia que crees que no conozco pero debería conocer. También quiero que estés consciente de que lo que te platicaré a continuación muy probablemente no captura todos los supuestos filosóficos que hay tras las tablas de verdad clásicas y tampoco pretendo darte una lista exhaustiva de las formas en que algunas personas han cuestionado esos supuestos; con que conozcas algunas es suficiente por el momento. Dicho esto, pasemos a lo que Moisés podría llamar gentil y juguetonamente “una aburrida serie de falsedades”.
El análisis expuesto antes nos compromete con cierta idea de la lógica. El mero hecho de que empecemos definiendo un lenguaje nos dice mucho de lo que haremos: es muy probable que la lógica se trate de un estudio de cierto tipo de entidades lingüísticas, no importa que sean abstractas. Ahora, si sólo pudiéramos hablar de lógica cuando las funciones de interpretación σ: P0→2 tuvieran como codominio valores de verdad, entonces no estaríamos haciendo lógica si nuestra función de interpretación τ: P0→E fuera, por ejemplo, una cuyo codominio fuera un conjunto E de estados eléctricos (digamos, encendido y apagado) y P0 fuera pensado no como un conjunto de fórmulas, sino como un conjunto de impulsos eléctricos. El primer supuesto es, pues:
(S1) La lógica trata de la evaluación de (contrapartes formales de) argumentos (expresados en el lenguaje ordinario).
Ahora, nota que las funciones σ: P0→2 y τ: P0→E se parecen mucho. De hecho el dominio es el mismo, sólo que en el primer caso lo pensamos como un conjunto de fórmulas, un lenguaje, y en el segundo como un conjunto de impulsos eléctricos, y por eso les asignamos diferentes codominios. 2 y E se parecen mucho también: ambos son conjuntos con dos elementos. Muy groseramente, podríamos decir que estas funciones tienen la misma estructura. Algunos creen que tanto cuando estudiamos fórmulas verdaderas (para evaluar argumentos) como cuando estudiamos los impulsos eléctricos podemos hablar genuinamente de lógica por esa semejanza estructural. Algunos son partidarios de considerar como una lógica (pura) cualquier cosa que, dicho vagamente, tenga una estructura como la que tienen las fórmulas con valores de verdad o los impulsos eléctricos en un circuito. Esas estructuras abstractas luego se especificarían de diferentes maneras. Por ejemplo, tendríamos una lógica aplicada cuando a una de esas estructuras la interpretamos de cierta manera, por ejemplo, como impulsos eléctricos en un circuito. Finalmente, tendríamos una lógica aplicada canónicamente cuando interpretamos una de esas estructuras como un modo de evaluar argumentos por medio de las combinaciones de valores de verdad de ciertas fórmulas. Creemos que de este modo podemos hacer justicia tanto al origen del estudio de la lógica (que empezó como el estudio de estructuras lógicas aplicadas canónicamente) como a lo que hoy muchos filósofos y matemáticos estudian también bajo el nombre “lógica”. Nota que este enfoque está inspirado en lo que ha pasado en otras áreas del conocimiento, como la geometría y la aritmética, que podríamos decir que empezaron como estudios de aplicación canónica de cierta estructura (por ejemplo, la medición de las tierras de cultivo en Egipto, en el caso de la geometría) y luego desarrollaron versiones puras, de las cuales se reconocen varias aplicaciones, no sólo las canónicas.
Ese quizá fue el asunto más controversial. De hecho, es el tema de saber qué es una lógica, lo cual no es poca cosa. Hay asuntos relativamente menos controversiales, en el sentido de que no presuponen la adopción de las distinciones que he esbozado arriba. Surgen incluso aceptando que sólo cuenta como lógica aquello que hacemos cuando estamos estudiando la verdad y la falsedad de las fórmulas para evaluar argumentos. El primer asunto del que quiero hablarte, quizá el más obvio, es que el postulado de que el codominio de las funciones de interpretación es 2 es una manera de decir que
(S2) Hay dos y sólo dos valores de verdad.
Hay gente que cree que esto es incorrecto. Hay gente que dice, por ejemplo, que oraciones acerca del futuro como “Alemania ganará la Eurocopa de 2012” no son verdaderas ni falsas. Esto puede ser por dos razones: O bien creen que la realidad es tal que el valor de verdad de ese tipo de oraciones es más bien “indeterminado” y sólo hasta que llegue el momento indicado de 2012 adquirirán alguno de los otros dos valores de verdad, o bien consideran que la atribución de valor de verdad de una oración está íntimamente ligada a su verificación o prueba. De este modo, sea la realidad como sea, no habiendo manera de verificar si esas oraciones son verdaderas o falsas, les ha de corresponder un valor de verdad diferente. Estos últimos también sostendrían algo similar respecto a ciertas oraciones acerca del pasado. Aunque el pasado fuera fijo, no habiendo modo de verificar si “Hace 300 mil millones de segundos cayeron 899 gotas de agua en el terreno que hoy comprende la casa de mis padres en Durango” es verdadero o falso, ha de considerarse que tiene otro valor de verdad. Hay muchas otras propuestas para expandir el número de valores de verdad provenientes de los estudios sobre la vaguedad, la modalidad, la física cuántica o la matemática, por mencionar algunos. Pero, si se ha intentado expandir el número de valores, ¿no sería posible también reducirlo? ¿Qué tal si sólo hubiera un valor de verdad? También hay gente estudiando esta posibilidad. No te digo más porque todavía no entiendo bien la propuesta y no sé ponerla en palabras más o menos sencillas, o por lo menos en términos que sólo requieran las nociones que ya te he definido.
Ahora, la mismísima noción de función nos compromete con dos cosas. Recuerda que la primera propiedad de una función es
(f1) A todo elemento del dominio le corresponde un elemento del codominio.
lo que en términos de funciones como σ: P0→2 quiere decir que
(S3) toda fórmula tiene un valor de verdad.
Pero esto también es debatible. Hay quienes sostienen que oraciones acerca del futuro como “Alemania ganará la Eurocopa de 2012” en realidad carecen de valor de verdad, esto es, a la fórmula p con la que representáramos la oración anterior no debería corresponderle valor de verdad alguno. Algunos estudiosos de las oraciones paradójicas también han rechazado este supuesto. Por ejemplo, supongamos que “Esta oración es falsa” tiene un valor de verdad. (Por simplicidad asumiré que sólo hay dos valores, pero el problema también aparece en contextos con más de dos valores de verdad.) Si fuera verdadera, entonces lo que diría es correcto, esto es, sería verdad que es falsa. De ahí que, si es verdadera, entonces es falsa. Supongamos mejor que es falsa. Entonces lo que dice no es correcto, no es falsa, entonces es verdadera. De ahí que si es falsa entonces es verdadera. Por lo que concluimos antes, podemos decir que es “Esta oración es falsa” es verdadera si y sólo si es falsa. Pero la conclusión es aberrante: del supuesto de que la oración “Esta oración es falsa” tenía un valor de verdad, concluimos que tendría dos, que es verdadera y falsa. Entonces habría que rechazar el supuesto de que ese tipo de oraciones tiene algún valor de verdad.
La segunda propiedad de una función,
(f2) A todo elemento del dominio le corresponde sólo un elemento del codominio
también tiene sus bemoles. En términos de funciones como σ: P0→2, (f2) quiere decir que
(S4) Toda fórmula tiene a lo sumo un valor de verdad.
aunque este ha sido uno de los supuestos menos debatidos, también ha encontrado sus detractores. Como vimos, el que una oración paradójica adquiriera dos valores de verdad fue considerado una razón suficiente para no asignarles valor de verdad alguno. Otros estudiosos de las oraciones paradójicas han optado por rechazar el supuesto (S4) antes que (S3); esto es, sostienen que dichas oraciones son a la vez verdaderas y falsas, que tienen más de un valor de verdad. En general, argumentan que en algunos razonamientos en los que se concluyen afirmaciones paradójicas, siendo las premisas y los principios de inferencia tan intuitivos, habrían de aceptarse sin más sus conclusiones, esto es, que “Esta oración es falsa si y sólo si es verdadera” o que “Hay un conjunto que es miembro de sí mismo si y sólo si es verdadero y es falso que es miembro de sí mismo”.
Sin embargo, trabajar con funciones simplifica mucho las cosas en lógica, de ahí que quienes rechazan los supuestos (S3) o (S4) traten no obstante de presentar sus propuestas usando funciones. Un modo de hacer esto es introduciendo elementos en el codominio de las funciones σ: P0→2. Esos elementos adicionales representarían “vacíos” o “huecos” (gaps) en los valores de verdad, para quienes rechazan (S3), y “aglutinamientos” o “amontonamientos” (gluts) de valores de verdad para lo que rechazan (S4). Por supuesto, también hay quienes rechazan al mismo tiempo (S3) y (S4).
Cuando definimos la lógica clásica dijimos que LC0 es un subconjunto propio de las fórmulas de L0, a saber, aquellas fórmulas que son verdaderas en cualquier interpretación. También dijimos que muchas otras lógicas podían definirse del mismo modo, a saber, como subconjuntos propios de un lenguaje dado L, a saber, el subconjunto de fórmulas de que L son verdaderas en cualquier interpretación. Sin importar si sólo una de las lógicas definidas de ese modo es una lógica genuina, o si todas lo son pero no todas son “correctas”, la definición coincide muy bien con la intuición de que
(S5) No todas las oraciones son verdaderas (falsas) en cualquier caso
Decimos que hay oraciones que son verdaderas (“Luis Estrada González escribió este texto”), otras que son falsas (“Él se aburrió mucho mientras lo escribía”); hay otras que, según la lógica clásica, serían verdaderas en cualquier caso (“Luis escribió este texto o Luis no escribió este texto”) y otras que serían falsas en cualquier caso (“Luis escribió este texto y Luis no escribió este texto”). A muy pocos filósofos se les ha ocurrido disputar este supuesto, pero los hay. Los trivialistas lógicos creen que todas las oraciones son verdaderas. Los nihilistas lógicos creen que ninguna oración es verdadera. Habría varias versiones del nihilismo lógico, a saber, los que creen que ninguna oración es verdadera porque todas son falsas, lo que creen que ninguna tiene valor de verdad, lo que creen que sólo algunas tienen valor de verdad pero que todas ellas son falsas, etc. También podríamos encontrar varias versiones del trivialista lógico si lo definimos como alguien que cree que no todo es falso: estarían los que creen que ninguna oración es falsa porque todas son verdaderas, lo que creen que ninguna tiene valor de verdad, lo que creen que sólo algunas tienen valor de verdad pero todas ellas son verdaderas, etc. Un argumento trivialista, puesto de una manera muy esquemática, es el siguiente:
P1. “Esta oración es falsa” es una oración del castellano.
P2. La lógica (aplicada canónicamente) correcta es la lógica clásica.
P3. Como ya vimos, “Esta oración es falsa” es verdadera si y sólo si es falsa.
P4. Entonces tenemos “Esta oración es falsa” y “No es el caso que esta oración sea falsa”.
P5. Pero de una fórmula de la forma “p y no-p” se sigue cualquier otra fórmula, por P2.
C. Por tanto, todas las oraciones del castellano son verdaderas.
No estoy seguro de que quien propuso este argumento deba ser considerado un trivialista. Cuando lo propuso por primera vez, parecía que sí lo era. Años después, parece que quiso decir que la conclusión correcta es que no es posible definir la noción de verdad en lenguajes ordinarios. Ahora tú trata de imaginar argumentos nihilistas. Estoy seguro de que en tu paso por la filosofía encontrarás varios.
Nota que lo anterior también te ayudará a percatarte de detalles como las siguientes. El principio de bivalencia suele expresarse del siguiente modo, que llamaré
Principio de bivalencia chabacano: Toda proposición es o verdadera o falsa.
puesto que es en realidad una combinación de dos principios:
El principio de bivalencia: Hay dos y sólo dos valores de verdad, verdadero y falso.
El principio de funcionalidad: A toda proposición le corresponde un y sólo un valor de verdad.
Puede haber entonces varias críticas al principio de bivalencia chabacano, sea que se ataque el principio de bivalencia o el principio de funcionalidad.
El asunto es peor cuando la gente llama “principio de bivalencia” a(l hecho de que sea teorema) la fórmula p∨¬p. El principio de bivalencia y la teoremicidad de esa fórmula son independientes. Alguien puede sostener que hay sólo dos valores de verdad, pero creer que p∨¬p no es teorema. ¿Cómo? Diciendo que p no tiene valor de verdad (es decir, niega al menos parte del principio de funcionalidad) y que ¬p tampoco (o puede establecer que si una fórmula no tiene valor de verdad entonces su negación es falsa). En este caso la disyunción no podría ser verdadera: para que lo sea al menos uno de los disyuntos debe ser verdadero, pero ninguno lo es.
Ahora, alguien puede sostener que p∨¬p es teorema sin aceptar el principio de bivalencia. Puede decir que hay un valor adicional, denotado ‘#’. Puede decir también que una fórmula es falsa si y sólo si la fórmula original es verdadera, y que es verdadera en cualquier otro caso. Claramente, en los casos en los que p es verdadera o p es falsa, la asignación de valor de verdad será como en la lógica clásica. Si p tiene el valor #, ¬p es verdadera. Pero como alguno de los dos disyuntos es verdadero, p∨¬p también lo es. De este modo, el principio de bivalencia y el que p∨¬p sea un teorema son asuntos independientes.
Finalmente, una observación pedagógico-metodológica, o una sugerencia para cuando tú enseñes lógica, si quieres llamarla así. Los cursos de lógica empiezan con las tablas de verdad basadas en las funciones porque es un aparato muy simple que tiene no obstante una capacidad muy grande para ayudarte en lo que te interesa, evaluar argumentos. Sin embargo, no toda la gente cree que sea una herramienta perfecta. Pese a lo perfectamente escogidos que están los ejemplos para que todo funcione, los mismos lógicos clásicos te urgirán a aprender lógica de primer orden lo antes posible. Pero ya vimos que quizá sea necesario que también recurras a las lógicas no clásicas. Vistas desde su fundamento matemático, no es necesario que la gente aprenda primero lógica clásica de orden cero, luego órdenes superiores y luego lógicas de orden cero con modalidades o con otras características. Bien se puede empezar a enseñar lógica estudiando lógica modal clásica de orden cero o lógica de primer orden y luego obtener la lógica clásica de orden cero como un fragmento de esas lógicas. O bien puedes empezar con la lógica intuicionista y luego obtener la lógica clásica como un caso especial en el que vale además la fórmula φ∨¬φ; qué sé yo. La primera impresión difícilmente se olvida, así que yo trataría de que los alumnos adquirieran primero el gusto por, y la habilidad en, el uso de herramientas formales en su labor filosófica, antes de presentarles una lógica como la mejor o la correcta. De hecho, espero que usen esas herramientas formales para abordar problemas como del si hay una sola lógica correcta y cuál sería ésta. No quiero filósofos cuyo argumento empiece así: “La lógica clásica es la correcta y es el proponente de una lógica no clásica el que tiene la carga de la prueba.” Todas las lógicas (aplicadas o aplicadas canónicamente) tienen que dar sus razones. En principio, la lógica clásica sólo tiene la ventaja de sernos la más familiar, y es por eso mismo que siempre que podamos debemos someterla a un escrutinio detallado.
No fue tan difícil, ¿o sí? Espero que ahora sí me creas que, si conoces las tablas de verdad y su fundamento matemático en la noción de función, puedes introducirte de manera más sencilla al estudio de las lógicas no clásicas y sus filosofías. No tienes que esperarte a haber tomado 500 cursos de lógica clásica, o de lógicas todavía muy parecidas a ella, para luego poder empezar a estudiar estos otros temas, si puedes hacerlo desde que aprendes las tablas de verdad en la primera semana del curso de Lógica I. Ojo: Lo ideal es que tomes el resto de Lógica I y los otros 499 cursos de lógica. Ahora que ya sabes que hay mucha filosofía escondida hasta en los lugares más insospechados y aparentemente aburridos, esos otros cursos seguramente te servirán para aprender muchas más cosas, para ejercitar tu detector de supuestos y para adentrarte en otras discusiones, probablemente más interesantes y complejas. Piensa que si toda esta filosofía salió de las tablas de verdad, ¿qué pasará cuando empieces a estudiar lógica clásica modal de segundo orden? Bienvenido entonces. Espero verte de nuevo por aquí.


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La Pluralidad de los Mundos es un proyecto de difusión de la filosofía. Somos un grupo de gente pensante que compartimos la creencia de que el conocimiento filosófico puede contribuir mucho a un sano desarrollo de la cultura pública, mientras que también sabemos que la filosofía no siempre es de fácil acceso. Creemos, en resumen, en la necesidad de difundir la filosofía. (Seguir leyendo»)

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Czesław Miłosz: "Exhortación"

Bello e invencible es el intelecto humano
ni rejas, ni alambre de púas, ni condenar los libros al despiece,
ni tampoco una sentencia de exilio pueden nada contra él.
Él establece en la palabra las ideas universales
y nos guía de la mano, escribimos entonces con mayúscula
Verdad y Justicia, y con minúscula, engaño y humillación,
él, por encima de lo que es, eleva lo que debiera ser,
enemigo de la desesperación, amigo de la esperanza.
Él no conoce judío ni negro, esclavo ni señor,
cediendo a nuestro gobierno el común patrimonio del mundo.
Él, de entre el impúdico estrépito de las palabras trituradas,
salva las frases austeras y dignas.
Él nos dice que todo es siempre nuevo bajo el sol,
y abre la mano yerta de lo que había sido.
Bella y muy joven es la Filosofía
y su aliada al servicio del Bien, la poesía
Apenas ayer la Naturaleza celebró su nacimiento,
lo anunciaron a los montes el unicornio y el eco.
Gloriosa será su alianza, ilimitado su tiempo.
Sus enemigos se condenaron a sí mismos a la destrucción.
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