(En esta entrada Moisés Macías Bustos continua la serie sobre Bertrand Russell. Link a la entrega anterior: Un primer acercamiento a Bertrand Russell (3)) (Si no puedes ver bien los símbolos, ajusta tu explorador para que use Unicode).

VI) Filosofía de las Matemáticas: Logicismo

La filosofía de las matemáticas de Russell constituye una temática amplia y técnica que abarca cuestiones tan variadas como los son la naturaleza de las matemáticas, problemas de ontología referentes a los objetos matemáticos y cuestiones de epistemología de las matemáticas. Por razones de espacio, aquí nos limitaremos a un esbozo informal.


El logicismo puede caracterizarse mediante las siguientes tesis [1]:

  • (i) Toda verdad matemática puede expresarse en un lenguaje cuya totalidad de expresiones son estrictamente lógicas; en otras palabras, toda verdad matemática puede expresarse como una verdad lógica.
  • (ii) Toda verdad matemática, una vez expresada como proposición lógica, es deducible de un número pequeño de axiomas y reglas lógicos.

De manera informal, podemos decir que el logicismo es la tesis de que la lógica y las matemáticas son idénticas, al menos en la versión de Russell. En Los Principios de las Matemáticas, Russell ofrece una definición ya clásica de las matemáticas como sigue: las matemáticas son todas aquellas proposiciones de la forma ‘si p entonces q’, donde p y q no contienen constantes, excepto constantes lógicas y las mismas variables aparecen en p y en q. Por lo mismo podemos sostener que Russell caracteriza las proposiciones de las matemáticas como hipotéticas, y especifica que deben estar conformadas por vocabulario estrictamente lógico. Sería quizá interesante diferenciar entre la tesis de los hipotéticos y el logicismo, por cuanto muchas teorías podrían caracterizarse como teniendo proposiciones de la forma ‘p entonces q’. Empero, lo particular de la teoría de Russell es que no sólo deben las proposiciones matemáticas ser de esa forma, sino que también deben poder expresarse en un vocabulario estrictamente lógico y ser capaces de ser deducidas lógicamente en forma válida.

Algo que motiva a Russell a sostener que el logicismo es la concepción correcta de las matemáticas es la plausibilidad de varias reducciones de grandes partes de las matemáticas a cuerpos axiomáticos. Un cuerpo axiomático es un conjunto de enunciados que afirman que los objetos de la teoría en cuestión tienen ciertas propiedades o mantienen entre si ciertas relaciones. Así, por ejemplo, las geometrías pueden caracterizarse completamente mediante sus axiomas. Igualmente es posible reducir grandes partes de la matemática pura tradicional a la teoría de los números naturales [2] y estos a los axiomas de Peano. Los axiomas de Peano son los siguientes:
  • (i) 0 es un número.
  • (ii) El sucesor de todo número es un número.
  • (iii) Ningunos dos números tienen el mismo sucesor.
  • (iv) 0 no es el sucesor de ningún número.
  • (v) Cualquier propiedad que pertenezca al 0 y al sucesor de cualquier número que tenga la propiedad, pertenece a todos los números: ∀P(P(0) & ∀k(P(k) → P(k+1)) →∀n(Pn)). Este es el así llamado principio de inducción matemática.

Cualquier estructura abstracta que satisfaga esos axiomas puede ser considerada como la serie de los números naturales. El hecho de que tal serie, en toda su complejidad, pueda ser así caracterizada, sugiere que tal vez los axiomas mismos puedan reducirse a expresiones lógicamente más básicas. Hay tres términos primitivos en tal serie: cero, número y sucesor, y el logicista puede mostrar que existe una caracterización de los mismos en un lenguaje puramente lógico, de manera que rescata sus propiedades. Es muy importante señalar, antes de avanzar más, que la lógica, tal como Russell la entendía, no comprendía solamente la lógica de primer orden (que es la cuantificación sobre individuos), sino también lo que él llamaba la teoría de clases y hoy en día conocemos como teoría de conjuntos. Esto amerita algunas palabras. Los términos primitivos se pueden explicar como lo quiere el logicista si empleamos conjuntos y agregamos a la lógica de primer orden el signo ‘∈’ para indicar la relación de pertenencia entre conjuntos y sus elementos. Un conjunto se puede definir de manera extensional, enumerando sus elementos, o de manera intensional, especificándolos mediante una propiedad que todos posean. Dos conjuntos pueden ser iguales o uno puede ser un subconjunto de otro. Un conjunto A es igual a un conjunto B si y sólo si ∀x (x∈A ↔ x∈B) y un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si ∀x (x∈A → x∈B). Después podemos definir “número” mediante el uso del producto cartesiano. El producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un miembro de A y su segundo componente un miembro de B. En símbolos: A × B = {(x, y): x∈A & y∈B}. Teniendo en cuenta al producto cartesiano podemos especificar una relación, llamada función. Una función F es un subconjunto de un producto cartesiano, en símbolos: F ⊆ A×B. Llamamos al conjunto A el dominio de F, y al conjunto B el contra-dominio de F. A cada miembro del dominio corresponde uno y uno sólo del contra-dominio. [3] En este caso específico nos interesa tener a la mano la definición de función biyectiva. Una función biyectiva, además de satisfacer las propiedades de toda función, cumple con que su rango [4] es igual a su contra-dominio y con que f(x) = f(y) si y sólo si x = y (es decir, dos objetos diferentes no pueden tener dos valores diferentes para sus funciones, y viceversa). Decimos que un conjunto es similar a otro si y sólo si hay una función biyectiva entre ambos. Así, Russell define el número de una clase como la clase de todos los conjuntos similares a un conjunto dado. Esta definición es conocida como la definición Frege-Russell de número cardinal, [5] y fue descubierta por ambos de manera independiente. Russell la presentó por primera vez en su The Logic of Relations en 1901. Así, por ejemplo, el 2 quedaría definido como ‘la clase de todos los pares’, el 4 como ‘la clase de todos los cuádruples’, etc. Cualquier par, entonces, satisface la siguiente expresión lógica: ∃x∃y[x≠y & ∀z(Pz → (z=y ∨ z=y))] Se puede observar que en ningún punto en las definiciones se introdujo ningún término numérico y se empleó únicamente el vocabulario de la lógica y la teoría de conjuntos. Igualmente es posible definir ‘cero’ empleando la definición de número y ‘sucesor’ empleando cuantificación y la definición de subconjunto. Parece que efectivamente es posible, en el logicismo de Russell, llevar el análisis más lejos que los axiomas de Peano. Sin embargo, existe un grave problema con la caracterización de conjunto empleada por Russell, esto es, aquella que define un conjunto intensionalmente. Veamos esto con detenimiento. La función proposicional ‘x es un gato’ es verdadera solamente para aquellos argumentos [6] de x que tengan la propiedad de ser gatos. Pero ahora, ¿qué hay de la propiedad de no pertenecer a sí mismo? ¿El conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos tiene tal propiedad? Si pertenece a sí mismo entonces, por definición, no pertenece a sí mismo y si no pertenece a sí mismo entonces, por definición, pertenece a sí mismo. Por lo tanto, ese conjunto, el llamado conjunto Russell, pertenece a sí mismo si y sólo si no pertenece a sí mismo. Esta es la paradoja de Russell. Esta paradoja muestra que la teoría ingenua de conjuntos (es decir, aquella que supone que la caracterización intensional irrestricta de conjuntos es válida), es inconsistente. El problema es que si el objetivo era fundamentar las matemáticas en la lógica y la teoría de conjuntos, se volvía indispensable para Russell encontrar una solución a su paradoja. Su solución es la Teoría de los Tipos Lógicos. Ésta tiene como finalidad bloquear paradojas que, de acuerdo a Russell, surgen por la aplicación de lo que él llamó el ‘principio del círculo vicioso’ y que presentó así: “todo aquello que involucre al todo de la colección no debe ser uno más de la colección. Si, admitiendo que cierta colección tiene un total, sus miembros son definibles sólo en términos de tal totalidad, entonces dicha colección no tiene total”. [7] Para evitar que se puedan generar expresiones mal formadas por alguna especie de círculo vicioso, Russell introduce la estipulación de que, en el lenguaje formalizado de Principia Mathematica, exista una jerarquía de tipos y órdenes. El objetivo de la jerarquía es restringir la cuantificación de tal manera que afirmaciones sobre el todo de una colección, a menos que sea parte del todo del rango de argumentos significativo de una función proposicional, sea un sinsentido. De acuerdo con Russell un tipo es, entonces, el rango de significatividad de una función proposicional. Dentro de su rango están los argumentos para los cuales la función tiene valores y puede ser verdadera o falsa. Otra asignación de argumentos la haría un sinsentido. De esta manera se puede, en el lenguaje formal de Principia Mathematica, impedir la formación de expresiones que pequen en contra del principio del círculo vicioso. Esto efectivamente permite llevar a cabo la logicización de las matemáticas en Principia Mathematica. El problema es que se cuelan dificultades, dado que no es claro por qué la teoría de los tipos habría de ser considerada como parte de la ‘lógica’, tomando ‘lógica’ en el sentido amplio de Russell. Relacionado con el problema de elementos no lógicos en Principia Mathematica, es importante señalar que este sistema contiene tres axiomas sobre los cuales se puede plantear la duda acerca de su estatus. Estos son: el axioma de infinitud, el axioma de elección y el axioma de reducibilidad. No entraremos aquí en los detalles de los contenidos de cada uno de estos axiomas, pero sí podemos brevemente señalar que el axioma de infinitud postula la existencia de infinitos individuos; el axioma de elección afirma la existencia de un conjunto el cual contiene un elemento de cada conjunto del universo de objetos relevante (o, equivalente, afirma la existencia de una función de elección: ésta función nos permite seleccionar un elemento específico c de cada conjunto C que esté en otra colección de conjuntos V); finalmente, el axioma de reducibilidad tiene como fin poder emplear expresiones de algún tipo lógico para la construcción de una expresión de otro tipo lógico diferente. El problema respecto a su estatus está vinculado al hecho de que estos axiomas no son verdades lógicas, es decir, no pueden ser deducidos del conjunto vacío de premisas, no son tautológicos, ni son consecuencias lógicas de otros axiomas. Eso pone en duda cualquier versión ‘fuerte’ de logicismo que afirme que todos y cada uno de los enunciados matemáticos son reducibles a la lógica o desarrollos de la lógica, en tanto estos enunciados resultan como consecuencias lógicas de axiomas que no poseen el estatus de verdades lógicas. La verdad es que es posible tener una versión más débil de logicismo, esto es, una versión en la que no se insista en que todos los enunciados de las matemáticas son consecuencias estrictas de enunciados lógicos, expresables en vocabulario lógico, etcétera. Existe la idea de que el logicismo fracasó en virtud del teorema de incompletitud de Gödel, cuyo contenido, de manera informal, es que en cualquier teoría consistente lo suficientemente poderosa para generar la teoría de números existirá al menos una proposición verdadera que no será demostrable a partir de los axiomas y teoremas del sistema. Yo pensaría que el teorema de Gödel, un resultado de gran importancia, no sería a su vez posible si no se hubiera establecido primero que efectivamente era posible axiomatizar las matemáticas, como se logra en Principia Mathematica. La razón es que tal teorema es un resultado sobre ese tipo de sistemas axiomáticos. En segundo lugar, los estudiantes de la teoría de conjuntos pueden percatarse de que, si aceptan la teoría de conjuntos como un fundamento para la matemática, probablemente emplearán el sistema de Zermelo-Fraenkel. Así, la mayoría de axiomatizaciones para la teoría de conjuntos contienen el axioma de elección, lo cuál ciertamente no demuestra que sea una verdad lógica, pero si muestra su tremenda utilidad en la derivación de resultados clásicos. Ciertamente nadie esperaría hoy en día que el uso de ciertos axiomas pueda justificarse más allá de su utilidad y fertilidad, que es justamente la vía que el propio Russell tomó a la luz de su realización de que no se pueden dar justificaciones plenamente lógicas para la elección de ciertos axiomas. [8] Principia Mathematica no es una lógica de primer orden, [9], sino un sistema de orden superior (es decir, que también cuantifica sobre propiedades y relaciones) que incorpora los axiomas requeridos para derivar las matemáticas, algo que logra y es, en ese sentido, además de por su tremenda influencia en la filosofía de las matemáticas y el desarrollo técnico de sus fundamentos, que puede aun hoy en día considerársele exitoso. [10]

[1] Voy a seguir en esto la formulación de Mark Sainsbury. Para un estudio técnico y adecuado del tema véase la sección “Mathematics” en su libro Russell.

[2] Russell, Bertrand. Introduction to Mathematical Philosophy. Dover. 1993.

[3] Esto se puede expresar sin la palabra ‘uno’, de tal que no hay circularidad, ni se asume la unidad en la definición de número: ∀x(x∈A → ∃y(y∈B & Fxy) & ∀z (z∈B & Fzx →z=y))

[4] El conjunto de valores que arroja la función evaluada en ‘x’, esto es, F(x).

[5] Shapiro, Stewart, ed. The Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics & Logic. Oxford.

[6] El argumento de alguna función proposicional ‘Fx’ es aquello que, si sustituido por la variable de la función, la hace verdadera o falsa.

[7] Russell, Bertrand & Whitehead A.N. Principia Mathematica to 56*. Cambridge University Press. Introduction, Ch. 2. p.1.

[8] Véase por ejemplo su On The Regressive Method of Discovering the Premises of Mathematics que puede encontrarse en la antología Essays in Analysis.

[9] La cual es correcta y completa.

[10] Sobre enfoques logicistas en la actualidad véase “Logicism Reconsidered” de Agustín Rayo, en el Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics and Logic.


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Uno es en la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, otro en la Universidad Veracruzana. Lee el post completo para ver las convocatorias.


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(En esta entrada Carlos A. Romero C. continúa con la serie de posts sobre el problema filosófico del cambio. Aquí el VÍNCULO a la entrada anterior).

Vimos en el post anterior de esta serie qué pasa cuando nos preguntamos sobre los cambios que un objeto sufre en el tiempo, y qué pasa cuando pasamos partes de un objeto a otro. Pero en lugar de preguntarnos qué pasa cuando realizamos cambios físicos en objetos actuales, podemos preguntarnos qué pasa cuando esos mismos cambios podrían haberse dado. Es decir: en lugar de preguntar si la computadora con el teclado, el disco duro y la unidad distintos es la misma computadora que la que compré, preguntamos si yo podría realizar esos cambios y seguir teniendo esa misma computadora. En lugar de preguntarnos cuál (si es que alguna) de las dos computadoras –la que yo tengo ahora o la que tiene mi amigo con las piezas originales– es la misma computadora que compré, decimos que podría haber realizado esos intercambios, y entonces preguntar cuál sería mi computadora. Aquí surge una problemática filosófica muy amplia.

Esta problemática gira en torno a lo que suele ser conocido como modalidad de re (del latín res, “cosa”). La modalidad de re es simplemente la asunción de que muchas de las cosas pueden ser (o podrían haber sido) diferentes a como de hecho son. La problemática surge al intentar sistematizar este hecho (que existen diferencias posibles) en una teoría filosófica.[1]
Podemos notar cómo surge el problema de la modalidad de re haciéndonos una pregunta. Con el ejemplo de las obras arquitectónicas, la pregunta sería así: ¿Qué tantas partes podría (incluso si no las cambia de hecho) cambiar el Templo Mayor, antes de que fuera un edificio diferente? ¿Dónde está el punto tal que, a partir de él, hemos llegado a otro objeto?
De hecho, podemos extender la pregunta, hablando no sólo de partes, sino de propiedades. (Grosso modo, una propiedad es una característica de un objeto: la propiedad ser humano es una propiedad que yo tengo (pues yo soy un ser humano), así como la propiedad escribir filosofía.) Y hay filósofos que han argumentado que existen distintos tipos de propiedades: unas más “naturales”, unas más apegadas a la identidad del objeto, unas que son propiedades de otras propiedades, etcétera.
Así que podemos hacer dos tipos de preguntas: ¿Cuántas propiedades podría cambiar mi computadora antes de “desaparecer del mapa”, antes de que nosotros nos encontremos con otro objeto distinto? ¿Cuántas propiedades podría intercambiar mi computadora con otro objeto, y seguir siendo el mismo objeto? Y ¿Cuáles, o de qué tipo, podría cambiar y seguir siendo la misma computadora? ¿Cuáles, o de qué tipo, podría intercambiar y seguir siendo la misma computadora?
Llamemos al primer tipo de pregunta la pregunta cuantitativa; llamemos a la segunda pregunta la pregunta cualitativa. (En adelante, para abreviar, hablaremos sólo de cambio de propiedades, pero eso incluye al intercambio de propiedades.)
Hay varias respuestas posibles para ambos tipos de preguntas y, como en el caso del tiempo y las partes materiales, cada una de ellas puede fundamentarse filosóficamente. Al dar una respuesta, estaremos haciendo metafísica: haremos una investigación filosófica sobre los objetos del mundo. Nuestra investigación filosófica será una investigación de metafísica modal: al inquirir sobre las posibilidades de los objetos, inquirimos sobre los modos en los que ellos podrían ser o haber sido. Así pues, la metafísica modal es la rama de la filosofía que investiga sobre las posibilidades de los objetos –la modalidad de re.
Dijimos que había varias respuestas posibles. Y las tres respuestas posibles a la pregunta cuantitativa son las siguientes: (i) un objeto puede cambiar todas sus propiedades y seguir siendo el mismo; (ii) un objeto puede cambiar algunas pero no todas sus propiedades si es que ha de retener su identidad; (iii) un objeto no puede cambiar ninguna propiedad: el cambiar una sola implica que es otro objeto. Pronto veremos algunos ejemplos, mientras tanto revisemos las respuestas posibles a la pregunta cualitativa.
Las respuestas posibles a la pregunta cualitativa son dos: (a) hay un cierto tipo de propiedades, llamémoslas esenciales, tal que si un objeto pierde alguna de sus propiedades esenciales, entonces ya no tenemos al mismo objeto; (b) no hay ningún tipo de propiedades tales que, si un objeto pierde alguna (o incluso todas) de ellas, deja de ser el mismo. Daremos ejemplos de estas respuestas un poco más adelante.
Notemos que las respuestas (i)-(iii) y (a), (b), pueden combinarse. Es decir, podemos dar una teoría filosófica acerca del cambio modal de los objetos que combine una respuesta a la pregunta cuantitativa con una a la pregunta cualitativa. Y ahora, antes de ver cómo serían estas combinaciones, debemos notar otra cosa.
El reemplazo del hardware de una computadora por hardware más nuevo, la restauración de monumentos, son hechos de la vida cotidiana. Pasa todos los días que las cosas cambien, así como pasa todos los días que digamos enunciados del tipo: Si hubiera pasado que X, entonces... o Si este objeto fuera de tal o cual manera, entonces... o que preguntemos cosas como ¿Qué hubiera pasado si Y? Tenemos hechos de la vida cotidiana y creencias sobre estos hechos. Creemos, en la vida cotidiana, que una computadora podría tener una tecla diferente y seguir siendo la misma –y si creemos esto es porque creemos que es un hecho que una cosa puede o podría cambiar y permanecer ella misma. Pero no siempre tenemos una teoría bien estructurada sobre este tipo de hechos.
Los filósofos suelen llamar intuiciones a este tipo de creencias de la vida cotidiana sobre hechos que podemos investigar filosóficamente. Tenemos la intuición de que muchas cosas podrían cambiar y retener su identidad: tenemos la intuición sobre la posibilidad de esta misma computadora con una tecla diferente; tenemos la intuición de que es posible que el mismo Templo Mayor tenga un par de piedras menos. Lo que los filósofos suelen hacer con estas intuiciones es sistematizarlas, tratar de acomodarlas en una teoría que cubra muchos (si es posible, todos) los casos del mismo tipo. El proceso de sistematización de las intuiciones en una teoría es un proceso complejo, pero suele incluir –en mayor o menor medida– la construcción de modelos lógico-matemáticos en el marco de los cuales estructurar esta teoría.
Hace unos párrafos vimos que la investigación filosófica sobre los objetos y sus diferencias posibles es llamada metafísica modal (o metafísica de la modalidad). El marco lógico-matemático dentro del cual se suele trabajar al hacer metafísica modal es la lógica modal. Esta lógica es la sistematización del comportamiento formal de las nociones de posibilidad y necesidad.
El problema central de esta serie de posts es cómo, bajo la aplicación de la lógica modal, los filósofos intentan dar una respuesta satisfactoria a las dos preguntas que hemos venido persiguiendo, que nombramos las preguntas cuantitativa y cualitativa: ¿qué tanto puede un objeto cambiar? Y: ¿cuáles podrían ser las propiedades que cambien?
En el siguiente post revisaremos las combinaciones posibles de estas respuestas, y cómo dan lugar a varias teorías en la metafísica de la modalidad.

[1]Podríamos entender a la modalidad de re como un tipo de “cambio” que se da no en el tiempo –o, más bien, no exclusivamente en el tiempo–, sino en circunstancias posibles. (Claramente, el presente, pasado y futuro reales son circunstancias posibles --pues su existencia no es imposible--, pero no toda circunstancia posible es real: algunas son meramente posibles). Parece que el concepto de cambio implica –o al menos está muy relacionado– con el tiempo, y es justamente por este riesgo de confusión que evitaré hablar de “cambio”. Modalidad de re es un concepto más general, que incluye tanto a todo el tiempo real como a tiempos posibles pero que no son reales.


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La Pluralidad de los Mundos es un proyecto de difusión de la filosofía. Somos un grupo de gente pensante que compartimos la creencia de que el conocimiento filosófico puede contribuir mucho a un sano desarrollo de la cultura pública, mientras que también sabemos que la filosofía no siempre es de fácil acceso. Creemos, en resumen, en la necesidad de difundir la filosofía. (Seguir leyendo»)

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Czesław Miłosz: "Exhortación"

Bello e invencible es el intelecto humano
ni rejas, ni alambre de púas, ni condenar los libros al despiece,
ni tampoco una sentencia de exilio pueden nada contra él.
Él establece en la palabra las ideas universales
y nos guía de la mano, escribimos entonces con mayúscula
Verdad y Justicia, y con minúscula, engaño y humillación,
él, por encima de lo que es, eleva lo que debiera ser,
enemigo de la desesperación, amigo de la esperanza.
Él no conoce judío ni negro, esclavo ni señor,
cediendo a nuestro gobierno el común patrimonio del mundo.
Él, de entre el impúdico estrépito de las palabras trituradas,
salva las frases austeras y dignas.
Él nos dice que todo es siempre nuevo bajo el sol,
y abre la mano yerta de lo que había sido.
Bella y muy joven es la Filosofía
y su aliada al servicio del Bien, la poesía
Apenas ayer la Naturaleza celebró su nacimiento,
lo anunciaron a los montes el unicornio y el eco.
Gloriosa será su alianza, ilimitado su tiempo.
Sus enemigos se condenaron a sí mismos a la destrucción.
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