(En esta entrada Moisés Macías Bustos continua la serie sobre Bertrand Russell. Link a la entrega anterior: Un primer acercamiento a Bertrand Russell (3)) (Si no puedes ver bien los símbolos, ajusta tu explorador para que use Unicode).

VI) Filosofía de las Matemáticas: Logicismo

La filosofía de las matemáticas de Russell constituye una temática amplia y técnica que abarca cuestiones tan variadas como los son la naturaleza de las matemáticas, problemas de ontología referentes a los objetos matemáticos y cuestiones de epistemología de las matemáticas. Por razones de espacio, aquí nos limitaremos a un esbozo informal.


El logicismo puede caracterizarse mediante las siguientes tesis [1]:

  • (i) Toda verdad matemática puede expresarse en un lenguaje cuya totalidad de expresiones son estrictamente lógicas; en otras palabras, toda verdad matemática puede expresarse como una verdad lógica.
  • (ii) Toda verdad matemática, una vez expresada como proposición lógica, es deducible de un número pequeño de axiomas y reglas lógicos.

De manera informal, podemos decir que el logicismo es la tesis de que la lógica y las matemáticas son idénticas, al menos en la versión de Russell. En Los Principios de las Matemáticas, Russell ofrece una definición ya clásica de las matemáticas como sigue: las matemáticas son todas aquellas proposiciones de la forma ‘si p entonces q’, donde p y q no contienen constantes, excepto constantes lógicas y las mismas variables aparecen en p y en q. Por lo mismo podemos sostener que Russell caracteriza las proposiciones de las matemáticas como hipotéticas, y especifica que deben estar conformadas por vocabulario estrictamente lógico. Sería quizá interesante diferenciar entre la tesis de los hipotéticos y el logicismo, por cuanto muchas teorías podrían caracterizarse como teniendo proposiciones de la forma ‘p entonces q’. Empero, lo particular de la teoría de Russell es que no sólo deben las proposiciones matemáticas ser de esa forma, sino que también deben poder expresarse en un vocabulario estrictamente lógico y ser capaces de ser deducidas lógicamente en forma válida.

Algo que motiva a Russell a sostener que el logicismo es la concepción correcta de las matemáticas es la plausibilidad de varias reducciones de grandes partes de las matemáticas a cuerpos axiomáticos. Un cuerpo axiomático es un conjunto de enunciados que afirman que los objetos de la teoría en cuestión tienen ciertas propiedades o mantienen entre si ciertas relaciones. Así, por ejemplo, las geometrías pueden caracterizarse completamente mediante sus axiomas. Igualmente es posible reducir grandes partes de la matemática pura tradicional a la teoría de los números naturales [2] y estos a los axiomas de Peano. Los axiomas de Peano son los siguientes:
  • (i) 0 es un número.
  • (ii) El sucesor de todo número es un número.
  • (iii) Ningunos dos números tienen el mismo sucesor.
  • (iv) 0 no es el sucesor de ningún número.
  • (v) Cualquier propiedad que pertenezca al 0 y al sucesor de cualquier número que tenga la propiedad, pertenece a todos los números: ∀P(P(0) & ∀k(P(k) → P(k+1)) →∀n(Pn)). Este es el así llamado principio de inducción matemática.

Cualquier estructura abstracta que satisfaga esos axiomas puede ser considerada como la serie de los números naturales. El hecho de que tal serie, en toda su complejidad, pueda ser así caracterizada, sugiere que tal vez los axiomas mismos puedan reducirse a expresiones lógicamente más básicas. Hay tres términos primitivos en tal serie: cero, número y sucesor, y el logicista puede mostrar que existe una caracterización de los mismos en un lenguaje puramente lógico, de manera que rescata sus propiedades. Es muy importante señalar, antes de avanzar más, que la lógica, tal como Russell la entendía, no comprendía solamente la lógica de primer orden (que es la cuantificación sobre individuos), sino también lo que él llamaba la teoría de clases y hoy en día conocemos como teoría de conjuntos. Esto amerita algunas palabras. Los términos primitivos se pueden explicar como lo quiere el logicista si empleamos conjuntos y agregamos a la lógica de primer orden el signo ‘∈’ para indicar la relación de pertenencia entre conjuntos y sus elementos. Un conjunto se puede definir de manera extensional, enumerando sus elementos, o de manera intensional, especificándolos mediante una propiedad que todos posean. Dos conjuntos pueden ser iguales o uno puede ser un subconjunto de otro. Un conjunto A es igual a un conjunto B si y sólo si ∀x (x∈A ↔ x∈B) y un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si ∀x (x∈A → x∈B). Después podemos definir “número” mediante el uso del producto cartesiano. El producto cartesiano A × B de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un miembro de A y su segundo componente un miembro de B. En símbolos: A × B = {(x, y): x∈A & y∈B}. Teniendo en cuenta al producto cartesiano podemos especificar una relación, llamada función. Una función F es un subconjunto de un producto cartesiano, en símbolos: F ⊆ A×B. Llamamos al conjunto A el dominio de F, y al conjunto B el contra-dominio de F. A cada miembro del dominio corresponde uno y uno sólo del contra-dominio. [3] En este caso específico nos interesa tener a la mano la definición de función biyectiva. Una función biyectiva, además de satisfacer las propiedades de toda función, cumple con que su rango [4] es igual a su contra-dominio y con que f(x) = f(y) si y sólo si x = y (es decir, dos objetos diferentes no pueden tener dos valores diferentes para sus funciones, y viceversa). Decimos que un conjunto es similar a otro si y sólo si hay una función biyectiva entre ambos. Así, Russell define el número de una clase como la clase de todos los conjuntos similares a un conjunto dado. Esta definición es conocida como la definición Frege-Russell de número cardinal, [5] y fue descubierta por ambos de manera independiente. Russell la presentó por primera vez en su The Logic of Relations en 1901. Así, por ejemplo, el 2 quedaría definido como ‘la clase de todos los pares’, el 4 como ‘la clase de todos los cuádruples’, etc. Cualquier par, entonces, satisface la siguiente expresión lógica: ∃x∃y[x≠y & ∀z(Pz → (z=y ∨ z=y))] Se puede observar que en ningún punto en las definiciones se introdujo ningún término numérico y se empleó únicamente el vocabulario de la lógica y la teoría de conjuntos. Igualmente es posible definir ‘cero’ empleando la definición de número y ‘sucesor’ empleando cuantificación y la definición de subconjunto. Parece que efectivamente es posible, en el logicismo de Russell, llevar el análisis más lejos que los axiomas de Peano. Sin embargo, existe un grave problema con la caracterización de conjunto empleada por Russell, esto es, aquella que define un conjunto intensionalmente. Veamos esto con detenimiento. La función proposicional ‘x es un gato’ es verdadera solamente para aquellos argumentos [6] de x que tengan la propiedad de ser gatos. Pero ahora, ¿qué hay de la propiedad de no pertenecer a sí mismo? ¿El conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos tiene tal propiedad? Si pertenece a sí mismo entonces, por definición, no pertenece a sí mismo y si no pertenece a sí mismo entonces, por definición, pertenece a sí mismo. Por lo tanto, ese conjunto, el llamado conjunto Russell, pertenece a sí mismo si y sólo si no pertenece a sí mismo. Esta es la paradoja de Russell. Esta paradoja muestra que la teoría ingenua de conjuntos (es decir, aquella que supone que la caracterización intensional irrestricta de conjuntos es válida), es inconsistente. El problema es que si el objetivo era fundamentar las matemáticas en la lógica y la teoría de conjuntos, se volvía indispensable para Russell encontrar una solución a su paradoja. Su solución es la Teoría de los Tipos Lógicos. Ésta tiene como finalidad bloquear paradojas que, de acuerdo a Russell, surgen por la aplicación de lo que él llamó el ‘principio del círculo vicioso’ y que presentó así: “todo aquello que involucre al todo de la colección no debe ser uno más de la colección. Si, admitiendo que cierta colección tiene un total, sus miembros son definibles sólo en términos de tal totalidad, entonces dicha colección no tiene total”. [7] Para evitar que se puedan generar expresiones mal formadas por alguna especie de círculo vicioso, Russell introduce la estipulación de que, en el lenguaje formalizado de Principia Mathematica, exista una jerarquía de tipos y órdenes. El objetivo de la jerarquía es restringir la cuantificación de tal manera que afirmaciones sobre el todo de una colección, a menos que sea parte del todo del rango de argumentos significativo de una función proposicional, sea un sinsentido. De acuerdo con Russell un tipo es, entonces, el rango de significatividad de una función proposicional. Dentro de su rango están los argumentos para los cuales la función tiene valores y puede ser verdadera o falsa. Otra asignación de argumentos la haría un sinsentido. De esta manera se puede, en el lenguaje formal de Principia Mathematica, impedir la formación de expresiones que pequen en contra del principio del círculo vicioso. Esto efectivamente permite llevar a cabo la logicización de las matemáticas en Principia Mathematica. El problema es que se cuelan dificultades, dado que no es claro por qué la teoría de los tipos habría de ser considerada como parte de la ‘lógica’, tomando ‘lógica’ en el sentido amplio de Russell. Relacionado con el problema de elementos no lógicos en Principia Mathematica, es importante señalar que este sistema contiene tres axiomas sobre los cuales se puede plantear la duda acerca de su estatus. Estos son: el axioma de infinitud, el axioma de elección y el axioma de reducibilidad. No entraremos aquí en los detalles de los contenidos de cada uno de estos axiomas, pero sí podemos brevemente señalar que el axioma de infinitud postula la existencia de infinitos individuos; el axioma de elección afirma la existencia de un conjunto el cual contiene un elemento de cada conjunto del universo de objetos relevante (o, equivalente, afirma la existencia de una función de elección: ésta función nos permite seleccionar un elemento específico c de cada conjunto C que esté en otra colección de conjuntos V); finalmente, el axioma de reducibilidad tiene como fin poder emplear expresiones de algún tipo lógico para la construcción de una expresión de otro tipo lógico diferente. El problema respecto a su estatus está vinculado al hecho de que estos axiomas no son verdades lógicas, es decir, no pueden ser deducidos del conjunto vacío de premisas, no son tautológicos, ni son consecuencias lógicas de otros axiomas. Eso pone en duda cualquier versión ‘fuerte’ de logicismo que afirme que todos y cada uno de los enunciados matemáticos son reducibles a la lógica o desarrollos de la lógica, en tanto estos enunciados resultan como consecuencias lógicas de axiomas que no poseen el estatus de verdades lógicas. La verdad es que es posible tener una versión más débil de logicismo, esto es, una versión en la que no se insista en que todos los enunciados de las matemáticas son consecuencias estrictas de enunciados lógicos, expresables en vocabulario lógico, etcétera. Existe la idea de que el logicismo fracasó en virtud del teorema de incompletitud de Gödel, cuyo contenido, de manera informal, es que en cualquier teoría consistente lo suficientemente poderosa para generar la teoría de números existirá al menos una proposición verdadera que no será demostrable a partir de los axiomas y teoremas del sistema. Yo pensaría que el teorema de Gödel, un resultado de gran importancia, no sería a su vez posible si no se hubiera establecido primero que efectivamente era posible axiomatizar las matemáticas, como se logra en Principia Mathematica. La razón es que tal teorema es un resultado sobre ese tipo de sistemas axiomáticos. En segundo lugar, los estudiantes de la teoría de conjuntos pueden percatarse de que, si aceptan la teoría de conjuntos como un fundamento para la matemática, probablemente emplearán el sistema de Zermelo-Fraenkel. Así, la mayoría de axiomatizaciones para la teoría de conjuntos contienen el axioma de elección, lo cuál ciertamente no demuestra que sea una verdad lógica, pero si muestra su tremenda utilidad en la derivación de resultados clásicos. Ciertamente nadie esperaría hoy en día que el uso de ciertos axiomas pueda justificarse más allá de su utilidad y fertilidad, que es justamente la vía que el propio Russell tomó a la luz de su realización de que no se pueden dar justificaciones plenamente lógicas para la elección de ciertos axiomas. [8] Principia Mathematica no es una lógica de primer orden, [9], sino un sistema de orden superior (es decir, que también cuantifica sobre propiedades y relaciones) que incorpora los axiomas requeridos para derivar las matemáticas, algo que logra y es, en ese sentido, además de por su tremenda influencia en la filosofía de las matemáticas y el desarrollo técnico de sus fundamentos, que puede aun hoy en día considerársele exitoso. [10]

[1] Voy a seguir en esto la formulación de Mark Sainsbury. Para un estudio técnico y adecuado del tema véase la sección “Mathematics” en su libro Russell.

[2] Russell, Bertrand. Introduction to Mathematical Philosophy. Dover. 1993.

[3] Esto se puede expresar sin la palabra ‘uno’, de tal que no hay circularidad, ni se asume la unidad en la definición de número: ∀x(x∈A → ∃y(y∈B & Fxy) & ∀z (z∈B & Fzx →z=y))

[4] El conjunto de valores que arroja la función evaluada en ‘x’, esto es, F(x).

[5] Shapiro, Stewart, ed. The Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics & Logic. Oxford.

[6] El argumento de alguna función proposicional ‘Fx’ es aquello que, si sustituido por la variable de la función, la hace verdadera o falsa.

[7] Russell, Bertrand & Whitehead A.N. Principia Mathematica to 56*. Cambridge University Press. Introduction, Ch. 2. p.1.

[8] Véase por ejemplo su On The Regressive Method of Discovering the Premises of Mathematics que puede encontrarse en la antología Essays in Analysis.

[9] La cual es correcta y completa.

[10] Sobre enfoques logicistas en la actualidad véase “Logicism Reconsidered” de Agustín Rayo, en el Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics and Logic.

4 comentarios to "Un primer acercamiento a Bertrand Russell (4)"

  • A mí no me parece que el logicismo haya fracasado ante el teorema de incompletitud; pero lo que sí hace este teorema es demostrar los límites del logicismo. Que haya límites no necesariamente es un fracaso; al contrario, puede que -incluso- conocer los límites nos coloque en el umbral de un conocimiento en el que se cuenta ya con algunas certezas y, a partir de allí, a construir.... hacia el infinito....

  • Quizá no es un completo fracaso (como Moisés menciona, Principia Mathematica fue uno de los libros fundacionales para la investigación de, justamente, los fundamentos de la matemática); pero sí que crea un problema, al menos a primera vista: Uno no puede decir que las matemáticas son consecuencia de principios lógicos si hay algunos enunciados matemáticos verdaderso que no se siguen de ellos; y esto último es lo que dice el (segundo) teorema de Gödel.

  • Creo que puede decirse algo a favor de lo que comentas, así como algo a favor de la respuesta de Carlos. Por un lado, como Carlos señala, el segundo teorema de Godel de hecho establece la falsedad de una versión fuerte de logicismo que sostuviera que toda proposición de la matemática debe ser derivable de proposiciones puramente lógicas. Si bien, como comenté en el post, Principia Mathematica no es un sistema cuyas proposiciones fundamentales sean todas de caracter puramente lógico. Los axiomas de infinitud y elección son claros ejemplos de ello. Así que el propio Russell era consciente de algunas de las limitaciones de su versión de logicismo. Sin embargo, en favor de lo que dices, creo que efectivamente el teorema puede servir como una lección de los límites del logicismo. Hay mucho en el logicsmo, tanto el de Frege como el de Russell, que tiene enorme poder explicativo. Por ejemplo, la sospecha de que el conocimiento matemático es conocimiento puramente lógico i.e. conocimiento acerca de qué se sigue de qué. El fílósofo contemporaneo Hartry Field explora una alternativa así en un artículo que tiene sobre epistemología de las matemáticas. Pienso también en el neologicismo, del cuál hice mención en una nota al pie. Gente como Crispin Wright y George Boolos han desarrollado una versión del sistema Fregeano, a fortiori menos ambiciosa que la original pero con gran promesa. Por otro lado, gente como Kevin Klement y Gregory Landini han explorado formas en que un neo-logicismo Russelliano podría responder a todo tipo de preguntas difíciles en la filosofía de las matemáticas. Échale un vistazo al artículo de Agustín Rayo sobre neologicismo que menciono en una nota el pie.

  • Pienso que aunque es cierto que se pueden mantener versiones menos fuertes del logicismo, sí que hay una refutación al enunciado de lo que pretendía el programa, no creo que la refutación sea tanto que el teorema de Gödel niegue la posibilidad de demostrar todo enunciado válido, ya que en todo caso esto no sería otra cosa que una característica del logicismo, en cuanto a sus límites como se ha dicho en los posts. Pienso que la principal refutación es precisamente en dos trabajos distintos de Gödel. En su tesis doctoral "Sobre la completitud del cálculo lógico funcional"(Sobre la suficiencia del cálculo lógico de primer orden, en lenguaje moderno)establece algo que estaba de acuerdo con la corriente dominante de pensamiento de la época, y era la demostración del teorema que reza que toda fórmula de la lógica de primer órden válida es deducible. Pero en matemáticas hay fórmulas válidas no deducibles en el sistema de partida (como tomó el propio Gödel, PM como sistema modelo). Sí es así, la lógica (al menos la de primer orden) es esencialmente distinta a las matemáticas, y por tanto no puede ser la segunda reducida a la primera de forma completa, que era la afirmación mas importante del logicismo, el corazón del programa al menos, esa reducción. Pienso que aquí es donde está la parte mas fuerte de la refutación.
    Un saludo y felicitaciones por la página

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Czesław Miłosz: "Exhortación"

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Él establece en la palabra las ideas universales
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él, por encima de lo que es, eleva lo que debiera ser,
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