La Pluralidad de los Mundos

Una proposición es cualquier cosa que puede ser verdadera o falsa, que puede ser expresada en varios lenguajes, y que afirma algo sobre cómo es el mundo (no da una orden ni expresa una pregunta). Los siguientes son ejemplos de proposiciones:

(1) Dios existe.

(2) Dios no existe.

(3) It's raining men.

(4) Sócrates estima a Platón.

(5) Je suis le nomad qui marche la nui, et qui attend le jour et l'oubli.

(6) El número de partículas fundamentales en el universo es finito. De hecho, tal número es: 203 193 290 193.

(7) Kunst korrumpiert.

(8) Heidegger corre.

Que una proposición pueda ser verdadera o falsa es simplemente que tenga valor de verdad: ya sea verdadero, ya sea falso, pero siempre uno de ellos y nunca ambos.

Habrás notado que hay ejemplos más largos que otros, incluso que expresan una proposición más compleja que otras. Es decir, parece que ciertas proposiciones tienen “partes”, mientras que otras no; en el sentido en que no puedes “quitarles” nada más sin que dejen de ser proposiciones. Por ejemplo:

A (1) no puedes quitarle nada, pues dejaría de ser una proposición, un hecho en el mundo. (“Existe” no es un hecho: ¿qué existe?; “Dios” tampoco: si acaso existe, es una entidad particular). Pero a (2):

sí que puedes quitarle algo: el “no”. A las proposiciones que no tienen “partes” en este sentido se las llama proposiciones atómicas, mientras que a las proposiciones que tienen otras proposiciones como “partes” se las conoce como proposiciones moleculares.

La pregunta surge de cómo las partes de una proposición que las tiene son unidas. El “pegamento” entre estas partes, lo que las conecta entre sí, son las conectivas lógicas, también llamadas constantes lógicas. Cada sistema lógico tiene sus conectivas, pero la lógica clásica, que es aceptada como la lógica más importante por una buena parte de los filósofos, consta de las que enumeraremos.

Nota que la proposición (1) se contradice con (2). Lo que hace que haya contradicción es la aparición del “no” en (2). Esta es una constante lógica: la negación, que se simboliza con una tilde “~” o con “¬”. Su función es invertir el valor de verdad: si a una proposición verdadera le ponemos una negación, obtendremos una falsa; y viceversa.

Verás que la negación sólo se aplica a una proposición. En este sentido, es una conectiva que sólo “conecta” a una proposición. Pero hay otras conectivas que sí conectan a más proposiciones. Por ejemplo, la conjunción, cuyo símbolo puede ser “&”, “$\wedge$” o un simple punto: “$\cdot$”. La conjunción lógica cumple la función de un “y” en el español: un “y” que conecta dos hechos. La conjunción de la lógica clásica no es como el “y” del español con el que se hacen listas de objetos (como en “Jorge y Luisa y su perro...”) o con el que se hace una diferencia de tiempos entre hechos (como en “Tuvieron sexo desprotegido, y se casaron”). Estos usos son capturados por algunos sistemas lógicos no-clásicos. Pero la conjunción de la lógica clásica sólo dice que suceden dos hechos, o, en lenguaje técnico, que dos proposiciones son verdaderas. Cuando uno de los dos hechos conectados por la conjunción no es el caso, la proposición compleja resultante es falsa.

Otra conectiva de la lógica clásica es la disyunción, cuyo símbolo es “$\vee$”. Esta conectiva cumple la función de un “ó” que no excluye entre sus opciones: si decimos “puedo ver una película o comer palomitas”, claramente estas opciones no son incompatibles entre sí. Por algunas razones, el “o” del lenguaje natural suele tener la carga de una exclusión: “o haces tus deberes o no sales” es una disyunción que sí excluye. Esta disyunción puede ser definida en términos de la conjunción, la negación y la disyunción inclusiva (la disyunción de la lógica clásica), así que la disyunción exclusiva no es tomada como básica. La función de la disyunción lógica es conectar dos hechos, uno de los cuales, o incluso ambos, es el caso. Hablando más técnicamente, la disyunción lógica es verdadera si al menos uno de sus proposiciones disyuntas lo es, y falsa si ambas son falsas.

Una de las conectivas más controvertidas a través de la historia de la filosofía es el condicional. El condicional que usa la lógica clásica es el condicional material, cuya función es afirmar o negar que existe una relación de suficiencia o necesidad entre dos hechos. Su estructura es un “si... entonces... “ y los símbolos más usados para representarlo son “$\supset$”, “$\longrightarrow$” o un simple “>”. Por ejemplo, cuando decimos “si estudias suficiente lógica, entonces aprenderás un nuevo lenguaje”, estamos haciendo uso del condicional material. El condicional material no afirma que haya una relación de causa-efecto entre sus proposiciones, ni que una preceda a otra, ni que una implique con necesidad lógica a la otra. El condicional material es mucho más humilde que todo ésto. Hablando técnicamente, una proposición compleja cuya conectiva lógica es el condicional, es verdadera siempre y cuando suceda alguna de las siguientes cosas: cuando la proposición que está antes del “entonces” (el antecedente) es falsa, sin importar si la proposición que va después del “entonces” (el consecuente) es verdadera o falsa; cuando el antecedente es verdadero y el consecuente también lo es. Es decir, el único caso en que un condicional es falso, es cuando su antecedente es verdadero pero su consecuente es falso. La idea detrás de esto es: dado que el condicional afirma que el antecedente es suficiente para el consecuente, entonces, si sucede el hecho afirmado en el antecedente pero no sucede el hecho afirmado en el consecuente, eso significa que el hecho del antecedente no era –en realidad-- suficiente para el hecho del consecuente.

Todo esto es hablar de hechos en general, pero a veces queremos hacer algunos análisis un poco más finos –en particular, a veces queremos hablar formalmente sobre cosas, sobre los objetos que pueblan el Universo. Esto es lo que hace la lógica cuantificacional: nos da la estructura lógica para hablar sobre las cosas –decir cómo son, en lo más general y abstracto posible, y decir cuántas son, en lo más general y abstracto posible.

La lógica cuantificacional, como se entiende de manera clásica, se obtiene agregando algunas nuevas constantes lógicas: el cuantificador universal, que dice “para todos” (“$\forall$”); el cuantificador existencial, que dice “existe al menos uno” (“$\exists$”) y el símbolo de identidad entre objetos (“=”). Usamos las variables (x, y, z...) para hablar en general de las cosas, de tal manera que no tengamos que referirnos a ningún individuo particular. Por ejemplo, para hablar de todos los objetos, diremos: “para toda x...”, queriendo con eso decir que, sin importar lo que pongamos en lugar de la x, lo que sigue será el caso. Para decir que cierta proposición es verdadera para al menos un caso, decimos “existe al menos una x tal que...”. Cuando queremos atribuir cierta característica F a al menos un objeto, por ejemplo, diremos: “Existe al menos una x tal que x es F”, en donde la “F” es la manera en que representamos simbólicamente a la característica en cuestión.

Con la lógica cuantificacional podemos dar una estructura formal a nuestro discurso sobre los objetos. Por ejemplo, podemos formalizar la siguiente oración “cualquier persona que tenga al menos una idea filosófica puede considerarse un aprendiz de filósofo” (que sea verdadero o falso es otra cosa). Podemos proceder por pasos en la formalización de la siguiente manera:

Con esto concluyo una breve presentación de lo que quiero decir con “lógica”. Por supuesto que hay miles de cosas más –características abstractas de los sistemas lógicos, sistemas lógicos no-clásicos que tienen diversas utilidades (de la ética a la inteligencia artificial), las posibles interpretaciones de los formalismos, los usos de la lógica en cuestiones matemáticas profundas–, pero esos son temas enormes que ya no puedo tratar aquí.